Wann ist Drehmoment gleich Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung?

Sie müssen zuerst verstehen, wie Linear- und Drehimpuls definiert sind, bevor Sie die Bewegungsgleichungen herleiten können.

Allgemein (3D) gilt:

1. Der lineare Impuls ist das Produkt aus Masse und Schwerpunktsgeschwindigkeit . Da Masse ein Skalar ist, sind linearer Impuls und Geschwindigkeit kolinear

   $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}_{cm}$$

2. Der Drehimpuls um den Massenschwerpunkt ist das Produkt aus Trägheit und Rotationsgeschwindigkeit. Die Trägheit ist ein 3 × 3-Tensor (6 unabhängige Komponenten) und daher ist der Drehimpuls nicht kolinear mit der Rotationsgeschwindigkeit

   $$\mathbf{L}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \,\boldsymbol{\omega}$$

3. Die auf einen Körper wirkende Gesamtkraft ist gleich der Änderungsrate des linearen Impulses

   $$\mathbf{F} = \frac{{\rm d} \mathbf{p}}{{\rm d}t} = m\,\frac{{\rm d} \mathbf{v}_{cm}}{{\rm d}t} = m \, \mathbf{a}_{cm}$$

4. Das Gesamtdrehmoment um den Massenmittelpunkt ist gleich der Änderungsrate des Drehimpulses

   $$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d} \mathbf{L}_{cm}}{{\rm d}t} = \mathtt{I}_{cm} \, \frac{{\rm d}\boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d} \mathtt{I}_{cm}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\omega} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\omega}$$

Da der Impuls nicht kolinear mit der Rotationsgeschwindigkeit ist, ändern sich die Komponenten des Trägheitstensors im Laufe der Zeit, wenn man sie in einem Inertialsystem betrachtet, und daher beschreibt der zweite Teil der obigen Gleichung die Änderung der Richtung des Drehimpulses.

In Ihrem Fall ist die Drehrichtung festgelegt (normal zur Ebene), und daher ist der Drehimpuls festgelegt, wodurch die obige Gleichung (immer noch in Vektorform) entsteht.

$$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha}$$ Darüber hinaus werden nur die Komponenten der Winkelbeschleunigung und des Drehmoments außerhalb der Ebene berücksichtigt, sodass sich die obige Gleichung auf eine Skalargleichung reduziert $$\tau_{cm} = I_{cm} \alpha$$

Die Bewegung des Massenmittelpunkts wird weiterhin durch beschrieben$\mathbf{F} = m\,\mathbf{a}_{cm}$oder in Skalarform

$$\begin{align} F_x & = m \ddot{x}_{cm} \\ F_y & = m \ddot{y}_{cm} \end{align}$$ Die beiden Bewegungen (linear und winklig) sind für einen freien Körper unabhängig voneinander.