Berechnung der Zeit zum Erreichen einer bestimmten Geschwindigkeit mit Widerstandskraft

Wenn die Widerstandskraft als lineare Funktion der Geschwindigkeit modelliert wird$(\vec{F}_D=-b\vec{v})$, dann ist das Problem einfach . Die vertikale Kraftbilanz für einen fallenden Tropfen ist

$$\Sigma F_y=mg-bv=m\dot{v},$$ woraus sich folgende Differentialgleichung für die Geschwindigkeit ergibt: $$\boxed{\dot{v}+\frac{b}{m}v=g}.$$ Im Grenzfall Maximalgeschwindigkeit/Nullbeschleunigung $(\dot{v}=0)$, vereinfacht sich die Kräftebilanz zu $$mg=bv_{max},$$ oder $$\boxed{v_{max}=\frac{mg}{b}}.$$ Zurück zu unserer Differentialgleichung, wenn die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=0$, dann ist die Lösung zu dieser ODE $$v(t)=\frac{mg}{b}\left[1-e^{-bt/m}\right].$$ Durch die Definition der Zeitkonstante als $\tau=\frac{m}{b}$und unter Verwendung der Definition der Endgeschwindigkeit vereinfacht sich die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit zu $$\boxed{v(t)=v_{max}\left[1-e^{-t/\tau}\right]}.$$ Die Position wird, falls gewünscht, leicht genug gefunden, indem eine weitere Integration durchgeführt wird: $$y(t)=\int{v}dt=v_{max}\int{\left(1-e^{-t/\tau}\right)}dt.$$ Vorausgesetzt, die Ausgangslage $y(0)=0$und vereinfachend ist dann die Lösung für vertikale Position $$\boxed{y(t)=v_{max}t+v_{max}\tau\left[e^{-t/\tau}-1\right]}.$$ Damit haben wir jetzt analytische Lösungen für die Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position des fallenden Objekts als Funktion der Zeit und der Systemparameter, die alle bekannt sind (bis auf $b$). Beachten Sie jedoch, dass die angeforderte Zeit zum Erreichen einer Geschwindigkeit von $0.63v_{max}$ist nicht willkürlich. Nachdem eine Zeitkonstante vergangen ist, haben wir $$\frac{v(\tau)}{v_{max}}=1-e^{-1}=0.63212=\boxed{63.212\%}.$$ Daher müssen wir einfach den Wert der Zeitkonstante berechnen und der resultierende Wert wird Ihre Antwort sein. Was Ihre Klassenkameraden betrifft, sie haben nicht unrecht. Unser Ziel ist es zu kalkulieren $\tau$, und wenn Sie sich unsere früheren Berechnungen genau ansehen, werden Sie das sehen $\tau$entspricht in der Tat der Endgeschwindigkeit dividiert durch $g$. Oktavdiagramme der Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktionen sind unten als Referenz aufgeführt (ersetzen $k$mit $b$im zweiten Plot).

Typischerweise ist der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und somit auch die Beschleunigung nach unten

$$a = \dot{v} = g - \beta v^2$$

Die Lösung für eine solche Bewegung ist

$$\begin{aligned} x & = \int \frac{v}{a} {\rm d}v = - \frac{1}{2\beta} \ln \left( 1 - \frac{\beta v^2}{g} \right) \\ t & = \int \frac{1}{a} {\rm d}v = - \frac{1}{4\sqrt{\beta g}} \ln \left( \frac{(v\sqrt{\beta}-\sqrt{g})^2}{(v\sqrt{\beta}+\sqrt{g})^2} \right) \end{aligned}$$

Stecken Sie also die Geschwindigkeit ein$v$Sie möchten zielen und es wird Ihnen die Entfernung geben$x$Und$t$um es zu erreichen.

PS. Wenn Sie den Drag-Parameter nicht kennen$\beta$, aber stattdessen kennen Sie die Höchstgeschwindigkeit, dann können Sie sie durch Lösen aus der Höchstgeschwindigkeit abschätzen$a = g - \beta\, v_{\rm top} = 0$.

1) Finden Sie die Widerstandskraft bei Endgeschwindigkeit. 2) Multiplizieren Sie diese Kraft mit 0,63 (63 %) 3) Teilen Sie diese neue Kraft durch die Masse des Regentropfens 4) Verwenden Sie die Geschwindigkeits-Beschleunigungs-Zeit-Kinematikgleichung, um sie nach Zeit aufzulösen

$${(V)=(Vi+a(t))}$$