Gleichung für einen fallenden Körper einschließlich Endgeschwindigkeit

Lassen Sie uns zunächst den Ursprung der verschiedenen Ausdrücke der Endgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für einen fallenden Körper klären.

Es wird erwartet, dass die Reibungskraft eine zunehmende Funktion der Körpergeschwindigkeit ist, und als Ergebnis gibt es eine Geschwindigkeit, für die diese Kraft genau die Schwerkraft ausgleicht$mg$. Nun, um diese Endgeschwindigkeit zu berechnen oder zu erholen$t\mapsto v(t)$, ist es notwendig, mehr über den Ausdruck der Reibungskraft zu wissen. Die gebräuchlichsten Modellierungen dieser Kraft sind:

• Das quadratische Gesetz,$F = \frac{1}{2}AC_d \rho v^2$. Das sind die gleichen Variablen wie in Ihrer Frage. Seit$C_d$im Hochgeschwindigkeitsbereich ungefähr konstant ist, die$v^2$Faktor macht ungefähr die ganze Geschwindigkeitsabhängigkeit aus, und die Kraft ist proportional zu$v^2$. Wir können auch schreiben$F = K_{square}v^2$. Dies gilt dann aber für genügend schnelle Bewegungen, für die die Reynolds-Zahl gilt$Re$ist groß. Da es proportional zum Kehrwert der Viskosität des Mediums ist und die Atmosphärenluft nicht sehr viskos/dicht ist,$Re$ist effektiv groß für die meisten Fall-in-the-Air-Experimente und dies ist der richtige Ausdruck dafür$F$
• Das lineare Gesetz,$F = K_{linear}v$. Diese Gesetze gelten für den Bereich niedriger Geschwindigkeit und sind hauptsächlich für hochviskose Flüssigkeiten relevant.

Während der erste Ausdruck tatsächlich den gleichen Ausdruck ergibt, den Sie für die Endgeschwindigkeit verwendet haben (die Quadratwurzel stammt aus der quadratischen Potenz).$v$In$F(v)$), ist es nicht mit einer exponentiellen Zeitabhängigkeit vereinbar. Der korrekte Ausdruck ist, wie von Wikipedia angegeben :

$$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right)$$ Die exponentielle zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit würde man mit dem linearen Ausdruck für die Kraft erhalten (dann ist die Bewegungsgleichung eine lineare Differentialgleichung 1 $t\to v(t)$).

Sie können den richtigen Ausdruck für integrieren$v(t)$um die Fallstrecke mit der Zeit wiederherzustellen (es wird von der Form$d(t) \propto \ln (\cosh (t/\tau))$)

In Bezug auf Ihren Vergleich in http://i.stack.imgur.com/j7Uhh.png ist dies nicht sinnvoll, da Sie eine Geschwindigkeit (die zu einer Konstanten tendiert) mit einer Entfernung ($\frac{1}{2}gt^2$).

Ich glaube also, ich habe eine Antwort, aber ich bin nicht ganz davon überzeugt, dass es die richtige ist.

Ein Freund (danke Ricky!) wies mich auf mehrere Stellen im Internet hin, wo Leute dieses Problem gelöst hatten:

• Fallender Körper mit Luftwiderstand
• Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme für fallende Objekte
• Berechnung der Zeit zum Erreichen einer bestimmten Geschwindigkeit mit Widerstandskraft

Jeder Graph von$v(t)$vs.$t$sieht ungefähr so ​​aus:

und folgt der Formel:

$$v(t) = v_t\cdot(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$

Wo$\tau=\frac{v_t}{g}$Und$v_t$ist die in meiner ursprünglichen Frage berechnete Endgeschwindigkeitskonstante.

Nebenbemerkung: Die Position wird durch die Integration dieser Formel angegeben, was Ihnen Folgendes gibt:

$$y(t) = v_t \cdot (t + \tau \cdot (e^{-\frac{t}{\tau}}-1))$$

Das sieht soweit gut aus und ist wahrscheinlich so nah wie möglich, ohne in verrückte Mathematik zu gehen, aber der Teil, der nicht richtig zu mir passt, ist, wenn diese Geschwindigkeitsfunktion mit dem Ideal grafisch dargestellt wird$\frac{1}{2}gt^2$Funktion:

Die ideale Funktion ist in den ersten ~1,5 Sekunden schneller als die ideale Funktion. Das ergibt für mich keinen intuitiven Sinn - wie könnte das Hinzufügen von Widerstandskraft die Geschwindigkeit anfänglich schneller beschleunigen?

Unabhängig davon werde ich einige Feldarbeiten durchführen, indem ich experimentelle Daten zum Abwerfen von Kieselsteinen von hohen und niedrigen Stellen nehme und eine Hybridfunktion entwickle, die der Realität so nahe wie möglich kommt. Ich kann am Ende eine stückweise Funktion ausführen, die die ideale Funktion für die ersten 1,5 Sekunden verwendet und dann auf diese neue asymptotische Funktion umschaltet.

Ich würde damit beginnen, den Kiesel zu messen und ihn zu wiegen, um seine Größe zu bestimmen. Dann würde ich fragen "lasse ich es einfach fallen" wie Galileo oder versuche ich, eine Schlussfolgerung zu ziehen, die darauf basiert, dass ich es werfe und dann die Auswirkungen bei der Landung abschätze.

Wenn es ersteres ist, sollten Sie nur eine Zahl erhalten, da sie unabhängig von der Steingröße alle mit der gleichen Geschwindigkeit fallen.