Bessel vs. modifizierter Bessel in der Radialgleichung von Wasserstoff

Question

Bessel vs. modifizierter Bessel in der Radialgleichung von Wasserstoff

Physik
Wasserstoff
Quantenmechanik
Differentialgleichung

alexvas

Ich versuche, den Unterschied zwischen Bessel-Funktionen und modifizierten Bessel-Funktionen zu verstehen (einfaches Googeln liefert komplizierte, nicht intuitive Antworten). Ich hatte den Eindruck, dass der eine einen komplexen Parameter zulässt, der andere nicht - stimmt das?

Meine Frage ergibt sich aus dem Versuch, den radialen Teil des Wasserstoff-Eigenproblems zu verstehen (mit $u = rR(r)$ ):

\frac{D^{2} u}{D R^{2}} = [\frac{l (l + 1)}{R^{2}} - k] u (R)

$\frac{d^2u}{dr^2} = \left[ \frac{l(l+1)}{r^2} - k\right] u(r)$

die durch eine lineare Kombination von sphärischen Bessel-Funktionen und Neumann-Funktionen gelöst wird:

u (R) = A R J_{l} (k R) + B R N_{l} (k R)

$u(r) = Ar j_l(kr) + Brn_l(kr)$

Gilt diese Lösung sowohl für real als auch für imaginär? $k$ ?

Als Referenz ist diese lineare Kombination aus Griffiths Einführung in die Quantenmechanik , Gleichung 4.45.

Antworten (4)

Bessel vs. modifizierter Bessel in der Radialgleichung von Wasserstoff

Michael · Answer 1

Die gewöhnlichen Bessel-Funktionen sind für komplexe Argumente perfekt definiert. Hier ist zum Beispiel eine Handlung von $\Re[J_2(x + i y)]$ :

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Der Unterschied zwischen der gewöhnlichen und der modifizierten Bessel-Funktion besteht darin, dass sie unterschiedliche Gleichungen erfüllen:

z^{2} j^{″} + z j^{'} + (z^{2} - N^{2}) j = 0,

$z^2 y'' + z y' + (z^2 - n^2) y = 0,$

für die gewöhnlichen Besselfunktionen und

z^{2} j^{″} + z j^{'} - (z^{2} + N^{2}) j = 0,

$z^2 y'' + z y' - (z^2 + n^2) y = 0,$

für die modifizierten Besselfunktionen.

Beachten Sie, dass zwischen ihnen eine Beziehung besteht:

J_{v} (z) = \frac{z^{v} {ICH}_{v} (ich z)}{(ich z)^{v}}

$J_{\nu }(z)=\frac{z^{\nu } I_{\nu }(i z)}{(i z)^{\nu }}$

mit ähnlichen Identitäten, die in die andere Richtung gehen. Es ist alles sehr ähnlich wie die Beziehung zwischen den trigonometrischen Funktionen $\sin(z),\cos(z)$ mit den hyperbolischen Funktionen $\sinh(z),\cosh(z)$ .

Martin Green · Answer 2

Wenn Sie wissen möchten, was die Bessel-Funktion wirklich ist, stellen Sie sich 360 Personen vor, die auf einem Kreis mit einem Durchmesser von über 100 Metern stehen und dieselbe Note Lambda < 1 Meter singen. In der Nähe des Mittelpunkts des Kreises konvergieren 100 ebene Wellen in Phase, und die radiale Amplitudenfunktion ist die Bessel-Funktion nullter Ordnung J_0. Wenn Sie J_1 sehen möchten, lassen Sie jeden Sänger die Phase seines Tons sukzessive um ein Grad verzögern, während Sie sich um den Kreis bewegen, so dass Sie nach dem Umrunden des gesamten Kreises wieder in Phase sind: Die radiale Amplitude ist entlang der J_1 Linie des ersten Sängers und Null entlang der Linie, die Sänger 90 mit Sänger 270 verbindet. Verzögern Sie in ähnlicher Weise die Phase um 2 Grad pro Sänger und Sie erhalten J_2 mit zwei Knotenlinien usw.

seb · Answer 3

Wenn Sie vorhaben, diesen Weg fortzusetzen, würde ich Ihnen raten, sich das Buch Arfken: Mathematical Methods for Physicists zu besorgen. Dort (Kapitel 14.5, 7. Auflage) wird der Unterschied ausführlich erklärt.

Sie verwenden die modifizierte Bessel-Gleichung und ihre Lösungen (die modifizierten Bessel-Funktionen), wenn Sie in zylindrischen Koordinaten arbeiten. Um zur modifizierten Bessel-Gleichung zu gelangen, zerlegt man die Laplace- (bzw. Helmholtz-) Gleichung(en) in Zylinderkoordinaten und gelangt (irgendwann) zu dem von Michael erwähnten Vorzeichenwechsel.

Nun ist dieser Vorzeichenwechsel ziemlich wichtig, weil er das Verhalten der Lösungen der modifizierten Bessel-Gleichung ändert (im Vergleich zu den Lösungen der (unmodifizierten) Bessel-Gleichung). Die Lösungen der modifizierten Bessel-Gleichung (dh der modifizierten Bessel-Funktionen ) sind NICHT oszillierend. Und sie zeigen ein exponentielles Verhalten.

Paul Cwave · Answer 4

Einfach ausgedrückt: Bessel-Funktionen sind oszillierend. Modifizierte Bessel-Funktionen sind monoton (und sehen aus wie die Hüllkurven von Bessel-Funktionen).

Sie stammen BEIDE aus der GLEICHEN Differentialgleichung. Die modifizierte Bessel-Gleichung ist die gleiche wie die Bessel-Gleichung, jedoch mit einem rein imaginären Argument.

Bessel-Gleichung:

z^{2} \frac{D^{2} u}{D z^{2}} + z \frac{D u}{D z} + (z^{2} - N^{2}) u = 0

$z^2 \frac{d^2u}{dz^2} + z \frac{du}{dz} + (z^2 - n^2) u = 0$ Mit Lösungen wie

J_{n} (z)

$J_n(z)$ (zerfallende Schwingungslösung) oder

Y_{n} (z)

$Y_n(z)$ (wachsende oszillierende Lösung)

Jetzt ersetzen $z = ix$ und Sie erhalten die modifizierte Bessel-Gleichung:

X^{2} \frac{D^{2} u}{D X^{2}} + X \frac{D u}{D X} - (X^{2} + N^{2}) u = 0

$x^2 \frac{d^2u}{dx^2} + x \frac{du}{dx} - (x^2 + n^2) u = 0$ Hier

J_{n} (i x)

$J_n(ix)$ ist auch eine Lösung, nimmt aber je nach realen oder imaginären Werten an

n

$n$ (echt für eben

n

$n$ , imaginär für ungerade

n

$n$ ). Um diese Unannehmlichkeiten zu vermeiden, wurde die modifizierte Bessel-Funktion verwendet

{ICH}_{N} (X) = e^{- N ich π / 2} J_{N} (ich X)

$I_n(x) = e^{-ni\pi/2}J_n(ix)$ eingeführt wird, die unabhängig von ihrem Wert real ist

n

$n$ .

$I_n$ ist die wachsende, monotone Lösung, während $K_n$ ist die abklingende, monotone Lösung.

In Ihrem Fall ist es kein Problem, ein imaginäres Argument in Ihrer Lösung zu haben, was die Funktion betrifft, aber hüten Sie sich vor den Komplikationen im Umgang mit einer Bessel-Funktion mit komplexem Argument, da es je nach den Werten von real/imaginär werden kann $l$ .

Bessel vs. modifizierter Bessel in der Radialgleichung von Wasserstoff

alexvas

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Michael

Martin Green

seb

Paul Cwave

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