Trennbare Hamiltonsche Systeme in der Quantenmechanik

Warum ist bei trennbaren Hamilton-Problemen die Gesamteigenfunktion gleich dem Produkt der einzelnen Eigenfunktionen, aber die einzelnen Hamilton-Operatoren müssen kommutieren?

In der Mathematik geht man bei Anwendung der Methode der Variablentrennung beispielsweise bei manchen PDEs davon aus, dass die Gesamtlösung Produkt von Funktionen der einzelnen Variablen ist.

Aber warum müssen in der Quantenmechanik die einzelnen Hamiltonoperatoren miteinander kommutieren, um diese Auflösungsmethode zu verwenden?

Ich beziehe mich zum Beispiel auf den Fall des Wasserstoffatoms: Nach dem Wechsel der Variablen kann man den totalen Hamiltonoperator als Summe zweier miteinander vertauschter Hamiltonoperatoren und der Eigenfunktion von schreiben H ist das Produkt der einzelnen Eigenfunktionen.

In diesem Fall (relative Hamilton-Koordinaten eines 3D-Wasserstoffatoms in Kugelkoordinaten) heißt es in meinem Buch nur: „Da ein zentraler Hamilton-Operator mit pendelt L 2 Und L z , können wir die Lösungen von TISE schreiben als: ψ ( R , θ , ϕ ) = F ( θ , ϕ ) R ( R ) . "

Antworten (2)

Ich denke, die andere Antwort ist (zumindest teilweise) falsch. Lassen Sie mich zuerst Ihre Frage beantworten und dann erklären, warum ich Probleme mit der anderen Antwort habe.

Angenommen, Sie haben einen Hamiltonoperator der Form H = H 1 + H 2 , Wo [ H 1 , H 2 ] = 0 . Dann seit H 1 Und H 2 pendeln, können sie gleichzeitig diagonalisiert werden. Das heißt, es existiert eine Eigenbasis der Form | ε 1 , ε 2 ⟩ Wo H 1 | ε 1 , ε 2 ⟩ = ε 1 | ε 1 , ε 2 ⟩ Und H 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ = ε 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ . Ein beliebiger Zustand in Ihrem Hilbert-Raum kann in die Form geschrieben werden

| ψ ⟩ = ∑ ε 1 , ε 2 C ε 1 , ε 2 | ε 1 , ε 2 ⟩ ,
Wenn Ihr Ziel jedoch nur darin besteht, Energieeigenzustände zu finden, dürfen Sie davon ausgehen, dass Sie in einem gemeinsamen Eigenzustand von arbeiten H 1 Und H 2 separat. Dies ist die vollständige Antwort auf Ihre Frage. Beachten Sie, dass wenn H 1 Und H 2 nicht pendelte, dann gäbe es keine gemeinsame Eigenbasis, und es wäre nicht möglich, Ihre Wellenfunktion zu faktorisieren.

Nun, hier ist das Problem mit der anderen Antwort: Es gibt keinen Grund, das anzunehmen H 1 Und H 2 Tensorproduktstruktur haben . Die Trennung von Variablen funktioniert auch dann, wenn der Hamilton-Operator NICHT die Form hat H = H 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ H 2 . Der Unterschied ist, wann H hat diese Tensorproduktstruktur die Eigenwerte ε 1 Und ε 2 kann unabhängig gewählt werden, muss aber nicht; in der Tat ist dies beim Wasserstoffatom nicht der Fall!! Im Wasserstoffatom die erlaubten Quantenzahlen ( N , ℓ , M ) Beispielsweise können nicht alle unabhängig voneinander ausgewählt werden ℓ darf nicht überschritten werden N . Dies weist auf die Tatsache hin, dass sich der Hamiltonian zwar in zwei kommutierende Teile aufspaltet, aber nicht die durch die andere Antwort angegebene Tensorproduktstruktur aufweist.

Du hast vollkommen recht!
Danke, aber ich habe den Satz nicht verstanden "Wenn Ihr Ziel nur darin besteht, Energieeigenzustände zu finden, dürfen Sie davon ausgehen, dass Sie in einem gemeinsamen Eigenzustand von H1 und H2 getrennt arbeiten." warum kann ich in diesem Fall meine Wellenfunktion faktorisieren, die das Produkt der Autofunktion von sein wird H 1 mal H 2
Genau genommen tut es das nicht. Betrachten Sie als triviales Beispiel einen dummen Hamilton-Operator der Form H = P → 2 2 M + ( P → 2 2 M ) 2 . Dies ist eine Summe zweier kommutierender Terme, aber die Energieeigenzustände sind keine Produkte der Eigenzustände der beiden, sie sind nur die üblichen Eigenzustände freier Teilchen.
@Zack müssen die beiden Hamiltonianer dann pendeln, damit die notwendige Bedingung für die Existenz einer Menge gemeinsamer Eigenfunktionen erfüllt ist?
Lassen Sie mich die ursprüngliche Frage des Beitrags und meine Antwort nebeneinander formulieren, damit die Logik klar ist. Frage: "Gegeben ein Hamiltonoperator H = H 1 + H 2 , möchte ich eine simultane Eigenbasis von finden H 1 Und H 2 Variablentrennung verwenden. Warum muss H 1 Und H 2 pendeln?" Antwort: "Weil es nur möglich ist, eine simultane Eigenbasis von zu finden H 1 Und H 2 wenn sie pendeln."
@Zack Der Punkt ist also: Ich brauche nicht, dass H1 und H2 pendeln, um die Methode der Variablentrennung anzuwenden, ich brauche, dass H1 und H2 pendeln, weil ich eine gleichzeitige Eigenbasis von H1 und H2 finden möchte. Wenn ich nur die Methode der Variablentrennung verwenden möchte (und keine simultane Eigenbasis suche), muss ich nur die gesamte Differentialgleichung in einzelne Teile "aufteilen", von denen jeder nur eine Variable enthält, es macht mir nichts aus, wenn sie pendeln und suchen dann nach einer Gesamtlösungsfunktion, die das Produkt einzelner Funktionen ist. Habe ich recht?

Ich denke, das ist ein Fehler in der Sprache des Lehrbuchs. Der wichtige Teil ist, dass sich der Hamilton-Operator in einen radialen und einen winkligen Teil aufspaltet H = H R + H Ω in einer Weise, dass für separierbare Wellenfunktionen ψ ( R , Ω ) = F ( Ω ) R ( R )

H R ( ψ ) = F H R ( R )  Und  H Ω ( ψ ) = H Ω ( F ) R .
Insbesondere impliziert dies, dass die beiden Hamiltonianer pendeln. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.

Eine dafür gut geeignete mathematische Sprache ist die der Tensorprodukte. Was im Wasserstoffatom getan wird, ist eine Zerlegung des Hilbert-Raums in ein Tensorprodukt zu finden H = H 1 ⊗ H 2 in dem der Hamiltonoperator in etwas von der Form zerfällt H = H 1 ⊗ 1 2 + 1 1 ⊗ H 2 . Dann eine Basis von Eigenvektoren von H kann gefunden werden, indem das Tensorprodukt der Eigenvektoren von genommen wird H 1 und Eigenvektoren von H 2 . Es ist eine Randbemerkung dazu H 1 ⊗ 1 2 Und 1 1 ⊗ H 2 pendeln und sicherlich garantiert die Tatsache, dass sie pendeln, nicht die Tensorproduktstruktur von vornherein. Zum Beispiel gibt es Pendler in C 3 aber letzteres lässt keine nicht-triviale Tensorzerlegung zu. Beachten Sie dazu, dass die Dimension eines Tensorprodukts das Produkt der Dimensionen seiner Faktoren ist und 3 eine Primzahl ist.

Entschuldigung, aber vielleicht habe ich die Frage falsch gestellt. Woran liegt das, wenn ein zentraler Hamiltonianer mit pendelt L 2 Und L z dann lässt sich die totale Wellenfunktion als Produkt eines radialen und eines winkligen Anteils schreiben?
Was meine Antwort zu vermitteln versucht, ist, dass dies nicht daran liegt, dass der zentrale Hamiltonian mit pendelt L 2 Und L z dass die Wellenfunktionen auf diese Weise geschrieben werden können. Es liegt stattdessen daran, dass sich der Hamiltonian in einen Teil aufspaltet, der nur beinhaltet R und einen Teil, der nur die Winkelvariablen betrifft.
Das habe ich auch auf meine Notizen geschrieben, aber ich verstehe nicht warum. Vielleicht spricht mein Buch über Kommutatoren, denn wenn H L 2 Und L z pendeln, haben sie eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren.
Lassen Sie uns dieses Gespräch im Chat fortsetzen chat.stackexchange.com/rooms/133216/…
Ivan, ich glaube, deine Antwort ist falsch – siehe meine Antwort.
@IvanBurbano danke für das Gespräch, aber es war zu spät für mich.
Trennbare Hamiltonsche Systeme in der Quantenmechanik
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