Warum wird bei Anwendung der Schrödinger-Gleichung immer ein Proton im Zentrum angenommen?

Es gibt eine strenge formale Analyse, die Ihnen dies ermöglicht. Das wahre Problem erlaubt natürlich sowohl dem Proton als auch dem Elektron, sich zu bewegen. Die entsprechende Schrödinger-Gleichung hat also die Koordinaten von beiden als Variablen. Zur Vereinfachung transformiert man diese Variablen normalerweise in den relativen Abstand und die Position des Massenschwerpunkts. Es stellt sich heraus, dass sich das Problem dann (für eine zentrale Kraft) in eine Gleichung für "stationäre Protonen" und eine Gleichung für freie Teilchen für die COM aufteilt.

Dafür ist ein kleiner Preis zu zahlen: Die Masse für die Bewegung des Massenschwerpunkts ist die Gesamtmasse - wie Sie es erwarten würden -, aber die Radialgleichung hat eine Masse, die durch die reduzierte Masse gegeben ist

$$\mu=\frac {Mm}{M+m}=\frac{m}{1+m/M} ,$$ was nahe an der Elektronenmasse liegt $m$seit der Protonenmasse $M$ist viel größer.

Es ist wichtig anzumerken, dass eine genau analoge Trennung für die klassische Behandlung des Kepler-Problems gilt .

In Bezug auf Selbstwechselwirkungen sind diese sehr schwer zu behandeln, ohne die gesamte Maschinerie der Quantenelektrodynamik aufzurufen. Glücklicherweise stellt sich heraus, dass man sie in den Niederenergiegrenzen, in denen sich Wasserstoffatome bilden können, völlig vernachlässigen kann.

Ich nehme an, Sie sprechen vom Wasserstoffatom; der Hamiltonian des Kern + Elektron-Systems ist

$$H = \frac{p_e^2}{2 m _e} + \frac{p_n^2}{2 m _n} - \frac{e^2}{|r_e - r_n|}.$$ Sie können eine Änderung der Koordinaten (Massenmittelpunktkoordinaten) vornehmen $$\vec{R} = \frac{m_e \vec{r}_e + m_n \vec{r}_n}{m_e+m_n} \\ \vec{r} = r_e -r_n$$ und finde die konjugierten Impulse zu diesen Koordinaten: $$\vec{P} = \vec{p}_e + \vec{p}_n \\ \vec{p} = \frac{m_n \vec{p}_e - m_e \vec{p}_n}{m_e+m_n}.$$ Definieren Sie auch die reduzierte Masse $\mu$so dass $$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_n}$$ und die Gesamtmasse $M = m_e + m_n$, können Sie das Wasserstoffatom hamiltonisch schreiben als $$H = \frac{P^2}{2 M} + \frac{p^2}{2 \mu} - \frac{e^2}{r} = H_{CM} + H_{rel}.$$ Bei diesen Berechnungen habe ich den Kern immer als Quantenteilchen behandelt; aber wenn man sich anschaut $H_{rel} = p^2/2\mu - e^2/r$und lassen Sie die Masse des Kerns gegen unendlich streben, erhalten Sie den Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms, der normalerweise in grundlegenden QM-Kursen gelehrt wird. Außerdem haben Sie keine anderen Begriffe wie Spin-Orbit, jj-Kopplungen usw., weil es sich um relativistische Effekte handelt, die daraus hervorgehen die Dirac-Gleichung.

Zu deiner ersten Frage:

Eine ähnliche (dieselbe?) Frage, die Sie vernünftigerweise stellen könnten, lautet: Wie können wir annehmen, dass das Proton im Zentrum des Problems stationär ist, da es sicherlich vom Elektron angezogen wird und ein wenig herumwackelt? Dies ist eine Frage, die an ein klassisches System – sagen wir einen Planeten, der einen Stern umkreist – genauso gültig wäre wie an ein quantenmechanisches.

Die Lösung dafür ist wie oben von anderen beschrieben: Die Tatsache, dass der Stern/das Proton so viel massiver ist als der Planet/das Elektron, bedeutet, dass es sich sehr wenig bewegen wird (die Beschleunigung eines Objekts ist umgekehrt proportional zu seiner Masse , und daher haben wir bei einer großen Masse eine sehr kleine Beschleunigung, dh sehr wenig Bewegung), und daher ist die stationäre Natur des Sterns/Protons eine gute Annäherung. Und tatsächlich können wir die Analyse völlig rigoros machen, indem wir uns mit relativen Trennungen und reduzierten Massen befassen. Aber die endliche Masse des Protons bedeutet, dass das Proton tatsächlich nicht stationär sein wird.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies die Frage ist, die Sie stellen. Ihre Sorge war nicht "Ist das Proton nicht ein Teilchen endlicher Masse", sondern "Ist es nicht ein Quantenteilchen?". Der Vorschlag ist, dass Sie denken, dass das Proton aufgrund seiner quantenmechanischen Natur – dh aufgrund der Unschärferelation usw. – unabhängig von der Masse des Protons wackeln sollte (vielleicht irre ich mich darin).

An der Grenze, dass das Proton unendlich viel mehr Masse als das Elektron hat, zwingt die quantenmechanische Natur des Protons es nicht zum Wackeln. Mit anderen Worten, die Unsicherheit in seiner Position,$\Delta x$, kann beliebig nahe Null gemacht werden. Dies steht seit seiner Entstehung im Einklang mit dem Unsicherheitsprinzip$p$(Masse x Geschwindigkeit) kann im Grenzfall eines unendlich massiven Protons gegen unendlich streben. Daher können wir immer noch erreichen

$$\Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

mit beliebig kleiner Geschwindigkeit und Ortsunschärfe, wenn wir die Masse beliebig groß machen.

Mit anderen Worten, in der Annahme, dass wir die Bewegung des Protons vernachlässigen, weil es vom Elektron angezogen wird, können wir auch die Bewegung des Protons aufgrund quantenmechanischer Effekte vernachlässigen.

Die Realität ist natürlich, dass das Proton wackeln wird – es wird aufgrund seiner intrinsischen quantenmechanischen Natur ein bisschen wackeln, und es wird aufgrund der Anziehungskraft des Elektrons ein bisschen mehr wackeln. Dem kann jedoch nach wie vor rigoros mit relativen Abständen und reduzierten Massen begegnet werden.