Gibt es eine zeitabhängige Wasserstoffatom-Schrödinger-Gleichung, die analytisch lösbar ist?

Es ist bekannt, dass das durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung beschriebene Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung relativistischer Effekte) vollständig analytisch lösbar ist.

Aber sind Anfangswertprobleme für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff analytisch lösbar - vielleicht mit unendlicher Kernmassennäherung, wenn es etwas vereinfacht? Zum Beispiel eine Entwicklung eines Elektronenwellenpakets im nuklearen elektrostatischen Feld.

Was meinst du mit "analytisch"? Sie meinen wahrscheinlich nicht die mathematische Definition, die darin besteht, dass die Funktion gegen ihre Taylor-Reihe konvergiert. Wenn Sie "mit einfachen Funktionen" meinen, sollten Sie wissen, dass es keinen qualitativen Unterschied zwischen numerischer Integration und speziellen Funktionen gibt. Tatsächlich werden viele gängige Spezialfunktionen von Ihrem Computer über die Differentialgleichung ausgewertet, die sie erfüllen.
@ChrisWhite Ich meine eine explizite Lösung in Bezug auf solche Funktionen, die kein dichtes räumliches Gitter aufbauen und die Lösung in kleinen zeitlichen Schritten verbreiten müssen, um den Wert an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit mit der erforderlichen Präzision zu finden.
Unter der Annahme einer unendlichen Masse des Kerns haben wir im Grunde ein Elektronenwellenpaket in einem zentralen 1/rPotential. Eine Sache, die mir in den Sinn kommt, ist die Streuung bei einem Coulomb-Potential-Problem. Ich kann nicht aus dem Kopf sagen, ob es integrierbar ist, aber es scheint ein vernünftiger Ausgangspunkt zu sein.
Eine Diskussion über ein gut aussehendes quasiklassisches Wellenpaket als Anfangsbedingung finden Sie in dieser Antwort .

Antworten (3)

Natürlich gibt es sie. Deshalb lösen wir zunächst die zeitunabhängige Version der Schrödinger-Gleichung: weil bei beliebiger Eigenfunktion ψ 0 des Hamiltonoperators mit Eigenwert E , die phasenentwickelte Kombination

ψ ( T ) = e − ich E T / ℏ ψ 0
ist eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, und außerdem ist jede Linearkombination solcher Lösungen immer noch eine Lösung.

Es gibt natürlich ein verständliches Vorurteil dagegen, einen stationären Zustand als Anfangsbedingung für den TDSE zu nehmen (aber es ist nur ein menschliches Vorurteil ohne wirkliche Stütze). Wenn dich das wirklich stört, dann kannst du einfach eine nichttriviale Linearkombination nehmen, wie zum Beispiel

ψ = ψ 100 + ψ 210 2 ,
und es wird dann Oszillationen sowohl in der Ortsraum- als auch in der Impulsraum-Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigen. Aus meiner Antwort auf Gibt es in einem Wasserstoffatom eine oszillierende Ladung? , die explizite Wellenfunktion ist gegeben durch

ψ ( R , T ) = ψ 100 ( R , T ) + ψ 210 ( R , T ) 2 = 1 2 π A 0 3 e − ich E 100 T / ℏ ( e − R / A 0 + e − ich ω T z A 0 e − R / 2 A 0 4 2 ) ,
und das geht direkt in die oszillierende Dichte ein:
| ψ ( R , T ) | 2 = 1 2 π A 0 3 [ e − 2 R / A 0 + z 2 A 0 2 e − R / A 0 32 + z cos ⁡ ( ω T ) e − 3 R / 2 A 0 2 2 A 0 ] .

Einen Schnitt durch die nehmen X , z Ebene sieht diese Dichte wie folgt aus:

Diese Kombination gibt Ihnen eine explizite analytische Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Nun ist es wiederum verständlich, dies irgendwie als "kein echtes Wellenpaket" abzutun, teilweise weil es sich aus mancher Perspektive "zu einfach" anfühlt, aber all das sind menschliche Vorurteile mit sehr wenig Unterstützung für wohldefinierte und wirkliche sinnvolle mathematische Kriterien zu den Anfangsbedingungen oder der entsprechenden Lösung. Dies ist ein ehrliches elektronisches Wellenpaket, das sich unter dem Einfluss eines Punktladungskerns bewegt.

Das war ziemlich dumm von mir, solche trivialen Anfangsbedingungen wie die Überlagerung einer endlichen Anzahl von Eigenzuständen im Fragenkörper nicht auszuschließen (ich habe dies jedoch in einem Kommentar zu einer anderen Antwort erwähnt ).
@Ruslan Die Frage, die Sie stellen möchten, ist schlecht gestellt, da es für Anfangsbedingungen kein genau definiertes "Trivial-o-Meter" gibt. Das Einzige, was Sie davon abhält, diese Lösungen als legitime Wellenpakete anzusehen, sind Ihre eigenen persönlichen Vorurteile. Sie sind verständlich, aber sie sind immer noch Vorurteile und sie sind immer noch ausschließlich menschlich.
Ich stimme Ihnen zu (jetzt, 3 Jahre nachdem ich die Frage gestellt habe). Ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich aus der Falle herauskomme: Die Antwort auf die Überlagerung endlicher Eigenzustände ist offensichtlich, und es gibt zwei solcher Antworten, die hier gepostet werden. Sie beantworten nicht, was ich fragen wollte, aber sie haben trotzdem einen Punkt. Vielleicht sollte ich einfach eins akzeptieren...

Was Ihnen zur Verfügung steht, ist eine explizite Kenntnis der Eigenwerte und Eigenvektoren (auch für das kontinuierliche Spektrum). Indem Sie Ihr anfängliches Wellenpaket in Bezug auf die Eigenvektoren erweitern, erhalten Sie seinen Wert für spätere Zeiten als Summe (oder Integral für kontinuierliches Spektrum) mit hinzugefügten Gewichtsfaktoren exp[-i λ t], wo λ der dem entsprechenden Eigenvektor zugeordnete Eigenwert ist.

Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass viele numerische 3D-Integrationen durchgeführt werden müssen, um Projektionen des Anfangszustands auf Eigenzustände zu finden. Und wenn der Anfangszustand eine zu hohe Lokalisierung hat, so dass viele Zustände des kontinuierlichen Spektrums zum Anfangszustand beitragen, müsste man noch mehr Integrale machen. Dieser Ansatz scheint im Allgemeinen nicht sehr gut zu sein, deshalb habe ich nach der direkten Lösung der zeitabhängigen Gleichung gefragt.
Ja, ich sehe dein Problem. Haben Sie einen Green-Funktionsansatz in Betracht gezogen?
Ich weiß nicht viel über Greens Funktionen. Könnten Sie erläutern, wie Sie sie auf dieses Problem anwenden (und was Sie lesen sollten, um Ihre Erklärung besser zu verstehen)?
Die Green-Funktion des zeitunabhängigen Falls ist sowohl in Koordinaten- als auch in Impulsdarstellung bekannt. Ob das in deinem Fall hilft, weiß ich nicht.

Die Lösung eines Anfangswertproblems kann als Integral der Anfangsfunktion geschrieben werden ψ 0 multipliziert mit dem Propagator des Schr. Gleichung. Je nach Funktion ψ 0 , kann das Integral in Bezug auf einfache Funktionen berechenbar sein oder nicht. Mir ist keine Anfangsfunktion bekannt ψ 0 und Potenzial A ( T ) das würde eine einfache exakte Lösung zulassen; die Gleichung mit zeitabhängigem Term ist schwer zu lösen. Der lohnendere Weg scheint zu sein, die Lösung mit einem Computer zu finden. Das eigentliche Problem ist, denke ich, woanders - wie finden wir eine angemessene Funktion ψ 0 um echte Atome zu beschreiben? Oft wird die erste Eigenfunktion des Hamiltonoperators verwendet, was meiner Meinung nach aber nicht besonders motiviert ist.

Meine Frage war "gibt es Anfangswertprobleme", nicht "was ist die definitive Lösung". Natürlich meine ich mit Anfangsbedingungen nicht so triviale wie Superposition endlicher Eigenfunktionen, sondern irgendeine Form von Wellenpaketen.
OK, ich habe meine Antwort entsprechend bearbeitet. Tut mir leid, dass ich nicht weiterhelfen kann.
Gibt es eine zeitabhängige Wasserstoffatom-Schrödinger-Gleichung, die analytisch lösbar ist?
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