Bestimmen der imaginären Achsenkreuzung eines Wurzelortes

Um festzustellen$K$. Wir müssen untersuchen:

$1+KF(s)=0\implies 1+L(s)=0 \implies s(s+4)(s^2+6s+64)+K=0.$

Wir wissen das$s=j\omega$. Wenn wir dies in die Gleichung einsetzen und den Real- und Imaginärteil sammeln, erhalten wir.

$\left(10\omega^3-256\omega \right)+j\left(\omega^4-88\omega^2+K \right)=0+j\cdot 0$

Durch Vergleich der komplexen Zahl auf der rechten und linken Seite der Gleichung erhalten wir zwei Gleichungen:

$10\omega^3-256\omega=0 \qquad \wedge \qquad \omega^4-88\omega^2+K=0.$

Das Lösen der ersten Gleichung führt zu$\omega=0, \omega=\pm\frac{8}{5}\sqrt{10}$.$\omega =0$, würde zur trivialen Lösung führen$K=0$. Als zweite Gleichung gilt sogar beides$\omega=\pm\frac{8}{5}\sqrt{10}\approx5.060$zum gleichen Ergebnis führen$K=\frac{39936}{25}\approx1597.44$, was offensichtlich ist, weil der Wurzelort symmetrisch in Bezug auf die reelle Achse ist.

Die Überprüfung mit MATLAB liefert sehr ähnliche Ergebnisse.

Ich bin mir bei Ihrer Berechnung nicht sicher, aber Matlab liefert das richtige Ergebnis. Bei diesem Problem besteht der übliche Ansatz darin, das Routh-Hurwitz- Kriterium zu verwenden und nach einer Reihe von Nullen zu suchen, die die Möglichkeit für imaginäre Achsenwurzeln ergibt. Konvertieren Sie das System daher in die Übertragungsfunktion mit geschlossenem Regelkreis

Die Routh-Tabelle ist

Der$s^1$row ist die einzige Zeile, die eine Zeile mit Nullen ergeben kann. Aus der vorhergehenden Zeile erhalten wir

Nun schauen wir uns die Zeile darüber an$s^1$und konstruieren das folgende Polynom, daher

Der Wurzelort schneidet die imaginäre Achse bei$\pm j5.0596$am Gewinn$K=1597.44$. Folglich der Gewinn$K$muss kleiner als 1597,44 sein, damit das System stabil läuft.

MATLAB zeichnet den Wurzelort nur für positive Werte von$K$. Ihre analytische Berechnung kann sowohl positive als auch negative Werte von berücksichtigen$K$und deshalb haben Sie am Ende zwei Punktepaare. Behalten Sie nur denjenigen, der mit erhalten wird$K>0$