Bewegung eines Punktes auf einem rotierenden starren Körper in drei Dimensionen

Question

Bewegung eines Punktes auf einem rotierenden starren Körper in drei Dimensionen

Der Aufziehvogel

Lassen $\mathbf{p}$ einen Punkt auf einem dreidimensionalen rotierenden starren Körper bezeichnen und einen körperfesten Koordinatenrahmen betrachten, auf dem zentriert ist $\mathbf{p}$ dreht sich mit dem Körper. Nehmen Sie an, dass der Körper ausschließlich der Schwerkraft unterliegt, sodass die Beschleunigung des Massenschwerpunkts durch den Erdbeschleunigungsvektor gegeben ist $\mathbf{g}$ . Ich habe an vielen Stellen online gesehen, dass wir mit schreiben können $\mathbf{v}$ bezeichnet die Geschwindigkeit von $\mathbf{p}$ ausgedrückt in einem raumfesten Inertialsystem,

\dot{v} = G + \dot{ω} \times R + ω \times ω \times R

$\dot{\mathbf{v}} = \mathbf{g} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$

Wo $\mathbf{r}$ ist ein Vektor, der im Körperrahmen von dem Punkt ausgedrückt wird $\mathbf{p}$ zum Massenmittelpunkt. Meine Frage ist: in welchem Rahmen ist $\boldsymbol\omega$ ausgedrückt? Soll ich interpretieren $\boldsymbol\omega$ als Winkelgeschwindigkeit im Körperrahmen oder im raumfesten Rahmen?

John Alexiou

Fügen Sie für zukünftige Referenzen Indizes für die Position hinzu, an der Vektoren summiert werden (wenn es sinnvoll ist). Dies kann helfen zu klären, was was ist.

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Bewegung eines Punktes auf einem rotierenden starren Körper in drei Dimensionen

Fügen Sie für zukünftige Referenzen Indizes für die Position hinzu, an der Vektoren summiert werden (wenn es sinnvoll ist). Dies kann helfen zu klären, was was ist.

John Alexiou · Answer 1

Sie müssen bei der Wahl der Basisvektoren konsistent sein.

Feige

Alle Größen sollten Komponenten haben, die mit dem Trägheitskoordinatenrahmen orientiert sind. Dies beinhaltet den relativen Positionsvektor $\boldsymbol{r}$ vom Punkt P zum Massenmittelpunkt C .

\begin{matrix} (1) & R = R_{P} - R_{C} \end{matrix}

$\boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}_P - \boldsymbol{r}_C \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & v_{P} = v_{C} + ω \times R \end{matrix}

$\boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & {\dot{v}}_{P} = {\dot{v}}_{C} + a \times R + ω \times (v_{P} - v_{C}) \end{matrix}

$\boldsymbol{\dot{v}}_P = \boldsymbol{\dot{v}}_C + \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r} + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{v}_P - \boldsymbol{v}_C ) \tag{3}$

Wo $\boldsymbol{\dot{v}}_C = \boldsymbol{g}$ Und $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\dot{\omega}}$ .

Wenn Sie die Position von P im Body-Riding-Koordinatensystem kennen $\boldsymbol{p}$ und Sie kennen die 3×3 Rotationsmatrix des Körpers $\mathbf{R}$ dann ist die Lage des Punktes P im Inertialsystem

\begin{matrix} (4) & R_{P} = R_{C} + R P \end{matrix}

$\boldsymbol{r}_P = \boldsymbol{r}_C + \mathbf{R}\,\boldsymbol{p} \tag{4}$

Danke. Gibt es einen Ausdruck für $\mathbf{v}_p - \mathbf{v}_c$ ?
@TheWind-UpBird ja. siehe (2) oben und verschieben $\boldsymbol{v}_C$ auf die andere Seite des =. $v_{P} - v_{C} = ω \times R$ $\boldsymbol{v}_P - \boldsymbol{v}_C = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$ Ich mag es einfach nicht, viele Kreuzprodukte miteinander zu verschachteln.

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Der Aufziehvogel

John Alexiou

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John Alexiou

Der Aufziehvogel

John Alexiou

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