Bewegungsgleichungen für ein Kugelpendel in einem nicht trägen Bezugssystem

Nehmen Sie ein Kugelpendel mit Pendelmasse$m$, Stangenlänge$\ell$und physikalische Koordinaten$\theta$,$\phi$(Kugelwinkel) und$h$(die Scharnierhöhe in Bezug auf den Koordinatenursprung). Der Stab ist masselos und unendlich steif. Die Herleitung der Bewegungsgleichungen eines solchen Systems unter Verwendung der Lagrange-Dynamik wird hier skizziert . Beachten Sie die Scharnierhöhe$h$ist eine vernachlässigbare Koordinate und spielt daher in den Bewegungsgleichungen keine Rolle.

Ich möchte dieses System jedoch erweitern, indem ich das Kugelpendel in einen nicht trägen Referenzrahmen platziere , der sich sowohl dreht als auch beschleunigt (linear und winklig), und das Pendel so ändert, dass es am Scharnier mit Verhältnis gedämpft wird$\gamma$, und bekannte Funktionen der Zeit für$\dot{m}$,$\dot{\ell}$Und$\dot{h}$, ebenso gut wie$\ddot{m}$,$\ddot{\ell}$Und$\ddot{h}$(das sind alle$\neq 0$).

Meine Lagrange-Dynamik ist ziemlich eingerostet (um es milde auszudrücken), also als ich anfing, die Gleichungen für die kinetische Energie aufzuschreiben$T$und Potenzial$V$, bin ich sofort bei folgenden Fragen hängen geblieben:

• Kann das Potenzial$V$noch geschrieben werden als$-mg\ell\cos\theta$, oder sollte das Potential die Nichtträgheit des Rahmens berücksichtigen?
• Ist dieses Pendelsystem tatsächlich noch konservativ (es gibt doch Dissipation durch die Dämpfung)? Wie soll ich vorgehen, wenn nicht?
• Kann ich die erforderlichen Vektorprodukte und -ergänzungen nachträglich irgendwie machen ? Ich meine: Kann ich zuerst die Bewegungsgleichungen ableiten, als ob der Referenzrahmen des Pendels inertial wäre , und dann zur endgültigen Form gelangen, indem ich die linearen, zentripetalen, Coriolis- und Euler-Terme hinzufüge? Oder müssen diese irgendwie von Anfang an mit einbezogen werden?

Die meisten Beispiele, die ich finde oder zur Verfügung habe, scheinen für diese Art von Problem zu trivial zu sein ... Und dieses Problem geht einfach über alles hinaus, was ich jemals in der Vergangenheit getan habe. Etwas Unterstützung und/oder Anleitung und/oder Links zu ähnlichen Problemen wären sehr willkommen.

Beachten Sie, dass ich schon einmal eine ähnliche Frage gestellt habe , aber die Lösung, die ich dort habe, ist eher unbefriedigend. Es hält die Zwangskraft (Spannung in der Saite), die sich herausstellt, für nicht wirklich notwendig. Auch zahlenmäßig ist es ziemlich böse wegen der zeitabhängigen Diskontinuitäten in den auf den Bob wirkenden Kräften. Also gehe ich jetzt mit einer Stange, die vernachlässigbare Längenänderungen hat (abgesehen von der$\dot{\ell}$Und$\ddot{\ell}$Bedingungen).

Obwohl ich es "newtonisch" machen könnte, indem ich alle Kräfte usw. sorgfältig berücksichtige, würde ich wirklich gerne (wieder) lernen, wie man dies sauber macht, indem man die Lagrange-Formulierung verwendet.