Beweis des Dichtesatzes mit Widerspruch?

Ich habe gerade angefangen, zum ersten Mal Einführung in die Realanalyse zu studieren. Es tut mir leid, wenn der folgende Versuch elementare Fehler enthält.

Der Dichtesatz besagt, dass wenn$x$Und$y$sind alle reellen Zahlen mit$x < y$, dann gibt es eine rationale Zahl$r$so dass$x < r < y$.

In dem Buch verwenden sie die archimedische Eigenschaft, um den Satz zu beweisen, aber ich denke daran, zu versuchen, ihn mit Widerspruch wie folgt zu lösen:

""Angenommen, im Widerspruch dazu$x < y$aber für alle Vernunft$r$,$r \geq y$oder$r \leq x$(einfach die Negation des gewünschten Schlusses).

Fall 1: Wenn$r \geq y$, Dann$y$ist eine Untergrenze von$\mathbb{Q}$. Seit$\mathbb{Q}$unbeschränkt ist, dann ist dieser Fall unmöglich.

Fall 2: Wenn$r \leq x$, Dann$x$ist eine Obergrenze von$\mathbb{Q}$. Ähnlich,$\mathbb{Q}$unbegrenzt zu sein impliziert, dass dies unmöglich ist.

Fall 3: Wenn$r \geq y$Und$r \leq x$dann seit$x < y$,$r \geq y > r$was unmöglich ist (beachten Sie auch, dass die Fälle 1 und 2 Fall 3 vollständig eliminieren).

Da alle Fälle unmöglich sind, muss der Dichtesatz wahr sein.""

Ist das ein gültiger Beweis? Wenn nicht, warum?

Vielen Dank.