Beweis für die Absorptionsregel in der Aussagenlogik?

Ich weiß, dass es einen „formalen Beweis“ für die „Absorptionsregel“ gibt, die das „Gesetz der ausgeschlossenen Mitte“ anwendet. Es wird in Wikipedia präsentiert (und ich glaube, es ist Russells): https://en.wikipedia.org/wiki/Absorption_(logic)#Formal_proof .

Es ist auch offensichtlich, wie dies durch einen "bedingten" oder "indirekten" Beweis erfolgen könnte.

Gibt es jedoch einen "formalen Beweis" in der Aussagenlogik für die "Absorptionsregel", der das "Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (oder Nicht-Widerspruchs)" NICHT als Folgerungsregel behauptet oder einen "bedingten (oder indirekten) nachweisen"?

Das heißt, kann in der Aussagenlogik (natürliche Deduktion oder auf andere Weise) ein „formaler Beweis“ konstruiert werden, der von der Prämisse p⊃q zur Konklusion p⊃(p∙q) geht , OHNE das „Gesetz der ausgeschlossenen Mitte“ (LEM )" als Folgerungsregel oder unter Verwendung eines "bedingten Beweises (CP)" oder "indirekten Beweises (IP)"?

Aus Neugier und in Anbetracht der Tatsache, dass Sie die Antwort nicht mit einer Wahrheitstabelle akzeptieren, wie definieren Sie die wahrheitsfunktionale Operation einer Bedingung für die Zwecke Ihrer Frage? (normalerweise macht man das mit einer Wahrheitstabelle)
Es ist nicht so, dass ich die Antwort nicht akzeptiere. Natürlich zeigt uns eine Wahrheitstabelle nicht nur, dass der Übergang von p⊃q zu p⊃(p∙q) gültig ist, sondern darüber hinaus, dass p⊃q und p⊃(p∙q) äquivalente Aussagen sind (was Copis Anwendung von Absorption als eine Implikationsregel merkwürdig, aber ich schweife ab). Unterm Strich möchte ich nur etwas über seinen Beweis in der sogenannten natürlichen Deduktion wissen und ob er ohne CP oder LEM durchgeführt werden kann oder nicht (es scheint, dass dies nicht möglich ist, was in Bezug auf die Anwendbarkeit der Absorption in der philosophischen Logik aufschlussreich ist). Das ist alles!
Ich glaube du missverstehst meinen obigen Kommentar. Ich werde versuchen, es noch einmal auszudrücken. (1) Die Funktion p⊃q wird normalerweise durch eine Wahrheitstabelle ( en.wikipedia.org/wiki/Material_conditional ) definiert. Wie in ist p⊃q genau die Funktion, die die Ausgabe erzeugt, die die Wahrheitstabelle vorschreibt. (2) Die folgende Antwort verwendet eine Wahrheitstabelle, um p⊃(p∙q) abzuleiten. (3) Sie lehnen die Antwort ab, da die Wahrheitstabelle Bivalenz und/oder LEM voraussetzt. (4) Folgt daraus nicht, dass Ihr Einwand auch für die Definition von p⊃q gilt?
Anders ausgedrückt: Wenn (3) ein Problem ist, ist dann (1) nicht auch ein Problem? Und wenn (1) kein Problem ist, dann scheint (3) auch keins zu sein ... Also scheint es, dass Sie entweder eine Definition von p⊃q geben sollten, die keine Wahrheitstabelle ist, oder die Gültigkeit akzeptieren sollten des Beweises via Wahrheitstabelle.
Ugh ... Ich akzeptiere die Gültigkeit des Beweises über eine Wahrheitstabelle. Wann habe ich gesagt, dass ich es nicht getan habe? Verdammt, ich habe in Kommentaren Dinge geschrieben wie "Zu wissen, dass es gültig ist ..." Also, da ich weiß, dass es gültig ist , möchte ich nur wissen, ob ein Beweis in natürlicher Deduktion dafür ohne Verwendung von CP oder LEM durchgeführt werden kann. Es scheint, dass es das nicht kann.
Das heißt, ich möchte nur wissen, ob ein Beweis in natürlicher Deduktion dafür ohne Verwendung von CP oder explizit unter Verwendung von LEM geführt werden kann, dh als Regel der Inferenz innerhalb des Systems , anders als hier: en.wikipedia. org/wiki/Absorption_(logic) , das meiner Meinung nach ursprünglich von Russell stammt. Auch hier scheint es nicht möglich zu sein.
Ich kann sagen, dass Sie frustriert sein müssen, aber ich denke, mein Punkt ist einfacher (und / oder auf einer anderen Ebene?) als das, worauf Sie antworten ... Um es klar zu sagen, ich stimme zu, dass es unmöglich sein kann, einen solchen Beweis zu führen ohne CP, LEM oder Wahrheitstabellen. Wo ich verloren bin, ist, wie Sie ⊃ definieren können, ohne ihm die Standard-Wahrheitstabelle zu geben, die wir erwarten.
und wenn wir das getan haben, haben wir uns nicht verpflichtet, den Wahrheitstabellenbeweis (mindestens) zu akzeptieren? Ich versuche, mir eine gute Analogie auszudenken, aber mir fällt sofort nichts ein. Das Beste, was ich bisher habe, wenn wir akzeptieren, dass ich nur auf Französisch kommunizieren kann und Sie verstehen, was ich sage, folgt daraus, dass wir auf Französisch kommunizieren.
Hallo, Virmaior ... Ich hab's geschafft! Lassen Sie mich hier auf den Punkt kommen … Ist Ihre Frage (und Ihr Bedenken) unter dem Strich wirklich nur: „Was ist Ihr Punkt, Stegdude? Eine Wahrheitstabelle demonstriert die Gültigkeit der Absorption (und tatsächlich die Äquivalenz). Lassen wir LEM als beiseite eine Regel innerhalb des Systems, da viele das nicht zulassen, wie zum Beispiel die Konstruktivisten. CP ist jedoch völlig logisch und zulässig in wie jedem System der Aussagenlogik auf der Erde. Also, warum sollte es Sie interessieren, ob ein Beweis in natürlicher Deduktion vorliegt oder nicht? kann für Absorption ohne CP konstruiert werden?" Verstehe ich dich richtig, Virmaior? :)
Nein. Das ist es überhaupt nicht.
Mein Fazit ist: Können Sie ⊃ definieren, ohne eine Wahrheitstabelle zu verwenden (oder im Wesentlichen dasselbe)? Wenn ja, dann würde ich gerne hören, wie. Wenn nicht, dann sehe ich nicht, wie wir Wahrheitstabellen zum Beweis der Absorption ablehnen können.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht einmal, was die Frage "Kannst du ⊃ definieren, ohne eine Wahrheitstabelle zu verwenden (oder im Wesentlichen dasselbe)?" meint. Meine de facto-Antwort lautet also "Nein". Allerdings lehne ich zum x-ten Mal den Beweis der Absorption durch die Wahrheitstabelle ( en.wikipedia.org/wiki/Absorption_(logic)#Proof_by_truth_table ) nicht ab. Ich möchte nur den "formalen Beweis" ( en.wikipedia.org/wiki/Absorption_(logic)#Formal_proof ), ABER ohne LEM (wie dieser) oder CP zu verwenden. Kann es getan werden? Wenn ja, legen Sie es auf mich. Das ist alles, worum ich bitte. Ich habe den Eindruck, dass das nicht sein kann.
Ich weiß wirklich nicht, wo du mir an dieser Stelle nicht folgst. Die Definition von ⊃ in der Wahrheitstabelle scheint LEM oder zumindest Bivalenz zu verwenden. Und der Beweis der Absorption durch die Wahrheitstabelle ist in diesem Punkt nicht anders. Wenn ⊃ formal durch seine Wahrheitstabelle definiert ist, dann wird die Absorption formal durch dieselbe Art von Wahrheitstabelle bewiesen. Wenn die Definition legitim ist, gibt es keine weiteren Bewegungen im Beweis der Wahrheitstabelle ...
Gemäß den von mir bereitgestellten Links (als Beispiele) ... möchte ich den "Wahrheitstabellen-Beweis" nicht. Ich spreche vom "formalen Beweis". Diese Unterscheidung registriert sich für Sie, richtig? Unter der Annahme, ist Ihr Argument, dass, weil die "Beweis-durch-Wahrheits-Tabelle" für die Absorption LEM verwendet, der "formale Beweis" für die Absorption auch muss???
(1) Ich verstehe nicht, warum der Wahrheitstabellenbeweis nicht als formaler Beweis gilt. Sicher, die Methoden sind anders als das, was Sie einen "formalen Beweis" nennen, aber die Theorie ist solide. (2) Assuming so, is your point, then, that because the "proof by truth table" for absorption uses LEM ... NEIN . Mein Punkt ist, dass die Definition von ⊃ selbst LEM voraussetzt, bevor Sie irgendetwas beweisen können, egal ob dieser Beweis durch Wahrheitstabelle oder eine andere Methode erfolgt. / Nochmals formuliert, das, was Sie zu vermeiden scheinen, scheint in die Natur von ⊃ eingebrannt zu sein, und ich weiß nicht, wie Sie es rückgängig machen können.
Zunächst einmal habe ich meine Frage der Übersichtlichkeit halber bearbeitet. :) ... Ja, du hast genau recht, virmaior! Das Schlüsselwort dort ist "annehmen", ein Wort, das ich mit großer Mühe vermeiden wollte. LEM wird in beiden Nachweisverfahren angenommen . Wenn es "angenommen", im Kuchen gebacken wird, dann sollte es nicht als explizite Schlußregel geltend gemacht werden müssen, um irgendetwas innerhalb des Systems zu beweisen. Tatsächlich verwendet fast kein zeitgenössisches "formales Beweis"-System (beeinflusst vom Konstruktivismus?) LEM als Schlussfolgerungsregel. Warum müssen wir es also plötzlich behaupten , um einen "formellen Beweis" für die Absorption zu liefern? ...
... Nun, die Wahrheit ist, dass wir LEM NICHT behaupten müssen. Es kann angenommen bleiben , und wir können stattdessen einen "formalen Beweis" für die Absorption führen, indem wir CP (oder IP, was natürlich nur eine Art von CP ist) verwenden. Aber es gibt auch Probleme mit CP! :(

Antworten (2)

Die Absorptionsregel kann über eine Wahrheitstabelle (die weder ein "bedingter Beweis" noch ein "indirekter Beweis" ist) wie folgt bewiesen werden:

P Q | P ⊃ Q | (P ∙ Q) | P ⊃ (P ∙ Q) | (P ⊃ Q) ≡ [P ⊃ (P ∙ Q)]
-----------------------------------------------------------
0 0 |   1   |    0    |   1         |         1
0 1 |   1   |    0    |   1         |         1
1 0 |   0   |    0    |   0         |         1
1 1 |   1   |    1    |   1         |         1

Aber wenn Wahrheitstabellen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte voraussetzen, dann scheint es, dass die Absorptionsregel innerhalb der von Ihnen auferlegten Einschränkungen nicht beweisbar ist .

Danke für deine Antwort, Jayson! Ich versuche jedoch nicht nur zu beweisen/zu demonstrieren, dass die „Absorptionsregel“ gültig ist. Da ich weiß, dass es gültig ist, suche ich nach einem "formalen Beweis", einer formalen Deduktion, einer (sogenannten) natürlichen Deduktion oder auf andere Weise für die "Absorptionsregel". Das heißt, Sie haben meine Frage direkt mit Ihrem letzten Satz beantwortet ... in (gemäß dem, was ich in meiner Nachricht geschrieben hatte, bevor sie herausgegeben wurde) auf die "einfache" Weise, die ich erwartet habe (nachdem ich einige Zeit damit herumgespielt habe). Zeit), das heißt "NEIN!" Glaubst du wirklich, das ist die Quintessenz?
Jayson, auch, ein anderer Gedanke ... Setzen Wahrheitstabellen das "Gesetz der ausgeschlossenen Mitte" oder das "Prinzip der Bivalenz" voraus? Wenn letzteres der Fall ist, dann war Ihre Antwort zutreffender, als Sie oder ich ihr zugetraut haben. Trotzdem suche ich letztendlich nach dem "formalen deduktiven Beweis", von dem wir beide zu glauben scheinen, dass er nicht existiert. XD
Die Idee, dass der Wahrheitswert von P und der Wahrheitswert von Q entweder 0 oder 1 sein müssen, ist das LEM, richtig? Wenn Sie das LEM nicht vermuten wollen, müssten Sie Optionen einschließen, bei denen eine der beiden noch unentschieden war. Sie bräuchten auch einen Implikationsstandard, der nicht automatisch davon ausgeht, dass die Implikation immer einen Wahrheitswert hat.
@Stegfucius Ich würde sagen, sie setzen Bivalenz voraus, aber diese Bivalenz als Eigenschaft der Semantik beruht auf LEM in der Metasprache, die zur Angabe der Semantik verwendet wird. Zumindest scheint die Intuition, dass Wahrheit eine „Ein“- oder „Aus“-Eigenschaft von Aussagen ist, das zu sein, was sowohl LEM als auch Bivalenz motiviert. Wenn die semantischen Werte von Aussagen nicht als Wahrheitswerte betrachtet werden, ist es schwer einzusehen, warum Sie darauf bestehen sollten, dass es nur zwei gibt. Stellen Sie sich zum Beispiel einen Intuitionisten vor, der „Wahrheit“ durch „Beweis“ ersetzt, oder die Konstruktion von Modellen mit booleschen Werten jenseits der booleschen Algebra mit zwei Elementen.
Nun, die Wahrheitstabelle ist ein mächtiges Werkzeug. Zumindest für binäre Logik.

Dies ist nur eine teilweise Antwort, da sie eine bedingte Eliminierung und eine bedingte Einführung verwendet, die möglicherweise verboten sind. Es verwendet jedoch nicht das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (LEM).

Wie ich die Kommentare verstehe, gibt es einige Fragen zum Verbot von Regeln für Konditionale, wenn man eine Bedingung in der Prämisse und eine Bedingung in der Schlussfolgerung zulässt. Wenn man Bedingungssätze verwendet, um den Beweis anzugeben, sollten Regeln für die Manipulation des Bedingungssatzes angegeben werden.

Der Beweis wurde unter Verwendung von Kevin Klements Natural Deduktion Proof Editor and Checker erstellt .

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Hier ist der Nachweis der Absorption mit LEM im zitierten Wikipedia-Artikel "Absorption (Logik)" :

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