Induktive und deduktive Argumente und mathematische Induktion

Betrachten Sie das Argument im OP, das angeblich der mathematischen Induktion ähnelt:

(i) P(1) ist wahr, dh P(n) ist wahr für n = 1. (z. B. Adam = 1)

(ii) P(n+1) ist wahr, wann immer P(n) wahr ist, dh P(n) ist wahr impliziert, dass P(n+1) wahr ist. (Jeder = n+1, Adam = n)

Dann gilt P(n) für alle natürlichen Zahlen n. (Adam freut sich.)

In der mathematischen Induktion erstreckt sich n über den Bereich der natürlichen Zahlen, die ein erstes Element (1) haben und durch eine Ordnungsbeziehung verbunden sind, sodass wir bei einer gegebenen natürlichen Zahl n die nächste finden können. Dadurch kann die mathematische Induktion alle natürlichen Zahlen abdecken, sobald man etwas über die erste gezeigt hat und dann eine beliebige natürliche Zahl gegeben hat, die auch dieses Etwas hat, was gezeigt hat, dass die nächste auch dieses Etwas hat.

Betrachten Sie das Beispiel. Im ersten Satz ist die Domain unklar. Sicherlich ist Adam ein Mitglied der Domäne. Im zweiten Satz gibt es ein "irgendjemand", vorausgesetzt, es gibt mehr Elemente in der Domäne als Adam. Abschließend wissen wir nur, dass Adam glücklich ist. Gibt es außer Adam noch andere in der Domäne? Vielleicht ist Adam das einzige Element in der Domäne.

Angenommen, es gibt neben Adam noch andere in der Domäne, sagen wir Mary, gibt es eine Ordnung der Elemente in der Domäne wie in den natürlichen Zahlen, so dass wir nach Adam ein weiteres Element haben, sagen wir Joe, und vor Mary gibt es jemanden, sagen wir , Jane? Es ist unwahrscheinlich, dass diese Reihenfolge existiert.

Schließlich sagt der erste Satz, dass Adam 1 ist. Das bedeutet, dass Adam nicht n ist, es sei denn, n ist identisch mit 1. Für den Induktionsschritt in der mathematischen Induktion nehmen wir ein beliebiges n aus den natürlichen Zahlen, das einer beliebigen Person entsprechen würde aus dem Bereich der Menschen, die wir in Betracht ziehen. Wir würden keine bestimmte Zahl wie 1 oder gar 10 nehmen, sondern eine beliebige natürliche Zahl und deshalb nicht als n bezeichnet . Die Behauptung, Adam sei n, würde also nicht funktionieren, es sei denn, die Domäne enthält nur Adam.

Paul Teller liefert eine gute Beobachtung über den Unterschied zwischen Induktion und Deduktion nach der Warnung „Lassen Sie sich von niemandem sagen, dass diese Begriffe strenge Definitionen haben“ (Seite 3):

Wir neigen dazu, ein Argument „deduktiv“ zu nennen , wenn wir behaupten, vermuten oder einfach hoffen, dass es deduktiv gültig ist. Und wir neigen dazu, ein Argument „ induktiv “ zu nennen, wenn wir anerkennen wollen, dass es deduktiv nicht gültig ist, aber wollen, dass seine Prämissen darauf abzielen, die Schlussfolgerung wahrscheinlich zu machen.

Sogar die erste Aussage, dass "Adam = 1", was impliziert, dass Adam glücklich ist, ist induktiv. Alles, was wir wissen, sind einige Prämissen über Adam, die zuvor aufgeführt wurden

Adam hat heute viel gelächelt.

Adam hat heute überhaupt nicht die Stirn gerunzelt.

Adam hat heute viele nette Dinge zu den Menschen gesagt und keine unfreundlichen Dinge.

Die Schlussfolgerung ist nicht deduktiv, weil diese drei Prämissen wahr sein könnten, aber Adam vielleicht nicht wirklich glücklich ist. Wie Teller erwähnt (Seite 3), "... schließen die Prämissen nicht die Möglichkeit aus, dass Adam nur vorgibt, glücklich zu sein."

Bezug

Teller, P. (1989). Eine moderne formale Logik-Fibel. Lehrlingshalle. http://tellerprimer.ucdavis.edu/

Die fragliche Behauptung ist, dass das folgende deduktive Argument ein Fall von mathematischer Induktion oder MI ist . (Übrigens, das ist Ihre Behauptung, nicht die von Teller, richtig?)

Adam hat gerade ein 'A' bekommen.
Wer eine 1 bekommt, ist glücklich.
∴ Adam ist glücklich.

Obwohl ich mehr über Logik als über Mathematik weiß, halte ich diese Behauptung für sehr dürftig. Das deduktive Argument hat diese Form:

Ein
Pa
∀x(Px→Qx)
∴ Qa

Im Gegensatz dazu nimmt MI diese Form an:

MI
P0
∀x(Px→Px+1)
∴∀xPx.

Wir bemerken gleich zwei Unterschiede: (i) A enthält zwei Prädikate, P und Q, während MI nur eines enthält. (ii) Die Schlussfolgerung von MI ist eine universelle Behauptung, die von A jedoch nicht. ( Der zentrale Zweck von MI ist es zu zeigen, dass alle Zahlen eine Eigenschaft haben.)

Es gibt zwei weitere, konzeptionell wichtigere Unterschiede: (iii) Um MI überhaupt zu formulieren , brauchen wir Addition oder zumindest den Begriff Nachfolger , aber beides ist in FOL nicht verfügbar. (iv) MI ist ein Axiom der Arithmetik, etwas, das wir der Logik hinzufügen , um zum Beispiel PA zu erhalten. A hingegen verlässt sich für seine Gültigkeit nicht auf irgendwelche (nicht-logischen) Axiome. Um es technischer auszudrücken, Robinson-Arithmetik (zum Beispiel) enthält MI nicht , aber A ist in dieser Theorie immer noch gültig.

Zusammenfassend: Ich glaube nicht, dass das deduktive Argument ein Beispiel für mathematische Induktion ist.

Sie verwirren einige der Terminologien und Konzepte. Die logische Induktion ist eine Art des Denkens, die sich vom deduktiven Denken unterscheidet. Mathematische Induktion ist der Name eines deduktiven Schlussverfahrens in der mathematischen Logik. Sie scheinen die Definition des Begriffs „Induktion“ wörtlich zu nehmen, wo Sie sie sehen. Das ist falsch. Sie sollten verstehen, dass Definitionen aus dem Kontext und nicht aus Wörterbüchern stammen. Dasselbe Wort kann je nach Kontext unterschiedliche Bedeutungen annehmen. In diesem Fall hätte der Name, den die Menschen der Inferenzregel gegeben haben, jedoch besser angewendet werden können. Beginnen wir mit den verschiedenen Kontexten.

Induktives Denken ist ein Denkmuster, das Schlussfolgerungen hat, die nicht sicher sind. Das heißt, die Schlussfolgerung eines induktiven Arguments ist nicht garantiert wahr, solange die Prämissen wahr sind. Die Schlussfolgerung mag heute wahr und die gleiche Schlussfolgerung 10 Jahre später falsch sein. Andere Faktoren können die Schlussfolgerung wahr machen und nicht nur die gegebenen Prämissen. Sie können auch eine wahre Schlussfolgerung ziehen, während die Prämissen falsch sind. Stellen Sie sich vor, dass die Schlussfolgerung wahrscheinlich ohne Gewissheit wahr ist. Eine andere Möglichkeit, es auszudrücken, ist, dass induktives Denken wahrscheinlich ist. Sie haben schon von Statistiken oder Wahrscheinlichkeiten gehört, nicht wahr? Das heißt, die Schlussfolgerung eines Arguments hat ein Perzentil der Richtigkeit: dh 1 % bis 99 % der Richtigkeit. Alle berühmten Wissenschaften passen in diese Kategorie.

Deduktives Denken ist das Argumentationsmuster, das Gewissheit in den Schlussfolgerungen hat, wenn die Prämisse wahr ist. Es wäre unmöglich, den Regeln zu folgen und die Schlussfolgerung eines Arguments als falsch zu erweisen, während die Prämissen gleichzeitig wahr sind. Induktives Denken hat diese Eigenschaft nicht. Die Induktion kann richtig sein, aber dieses Muster gibt nicht IMMER Gewissheit. Schon die Unterscheidung ist ein Argumentationsmuster (Induktion), das manchmal Wahrheit gibt und manchmal versagt. Das andere Muster (deduktives Denken) hat Regeln, die der Mathematik ähneln, und das Befolgen der Regeln macht es unmöglich, eine falsche Antwort zu geben. Bekommt man eine falsche Antwort muss mindestens eine der bekannten Regeln verletzt werden. Mathematische Induktion ist ein deduktives Verfahren, das beim Argumentieren verwendet wird, um eine Schlussfolgerung in einem Argument abzuleiten.Art des Schließens als induktives Schließen. Das Argumentationsverfahren hat Regeln, die, wenn sie befolgt werden, eine Schlussfolgerung ableiten, die wahr sein muss, wenn die Prämissen (dies schließt Annahmen ein) ebenfalls wahr sind. Wikipedia hat einen hilfreichen Artikel über mathematische Induktion. Sie können auch die Google-Suchmaschine verwenden, um weitere Informationen zu anderen Webseiten bereitzustellen, die mathematische Induktion weiter behandeln. Viele Websites, die sich mit Mathematik befassen, haben eine Beschreibung davon.

Das Beispiel, das Sie für ein deduktives Argument gegeben haben, scheint nicht in das Muster einer mathematischen Induktion zu passen, sondern in ein kategorisches Syllogismus. Als kategorischen Syllogismus würde ich so schreiben: Alle Personen, die in einer Prüfung eine „Eins“ bekommen, sind glückliche Menschen. Adam hat bei einer Prüfung ein „A“ erhalten. Daher ist Adam ein glücklicher Mensch.

Ein Mathematiker würde das in bedingte Form übersetzen: Wenn jemand in einer Prüfung eine „Eins“ bekommt, dann ist er ein glücklicher Mensch. Adam hat bei einer Prüfung ein „A“ erhalten. Daher ist Adam ein glücklicher Mensch.

In beiden Fällen gibt es keine mathematische Induktion.