Beweisen Sie, dass E2−B2E2−B2\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2 und E⋅BE⋅B\mathbf{E}\cdot\mathbf{B} die einzigen zwei unabhängigen Lorentz-invarianten Größen sind [duplizieren ]

Ich bin mit der Lorentz-Gruppe nicht sehr vertraut, aber diese Art von Fragen ist definitiv für die Gruppentheorie. Aus Wikipedia schließe ich, dass sich der elektromagnetische Feldtensor unter transformiert$(1,0)\oplus(0,1)$Darstellung. Die allgemeine Idee ist, herauszufinden, wie viele Invarianten (d. h.$(0,0)$) kann aus zwei Werten gebildet werden, die sich nach unten transformieren$(1,0)\oplus(0,1)$. Wir müssen also das Ergebnis der direkten Produkte finden$\left[ (1,0)\oplus(0,1) \right] \otimes \left[ (1,0)\oplus(0,1) \right]$.

Basierend auf der hier gegebenen Erklärung schließe ich, dass es gleich ist

Die Anzahl der Skalare ($(0,0)$Darstellung) im Produkt ist 2. Wir können also nur zwei Skalare aus dem Produkt zweier elektromagnetischer Feldtensoren konstruieren.

$\vec{E}$Und$\vec{B}$sind Vektoren, und geometrisch gibt es nur 3 skalare quadratische Kombinationen dieser Felder --$E^2$,$B^2$Und$(\vec{E}, \vec{B})$. Die letzte ist Lorentz-invariant für sich, während man sie voneinander subtrahieren muss, um die Invariante von den anderen zu erhalten. Es gibt auch kubische Kombinationen$\epsilon_{ijk}E^i E^j B^k$,$\epsilon_{ijk}E^i B^j B^k$usw., aber alle verschwinden aufgrund der Antisymmetrie von$\epsilon$-Tensor.