Beziehung zwischen Radiowellen und Photonen, die von einem klassischen Strom erzeugt werden

Bei der QED sind sowohl das elektromagnetische (EM) Feld als auch die geladene Materie Quanteneinheiten. Diese Antwort verwendet stattdessen ein halbklassisches Modell mit einem Quantenfeld , das an einen vorgeschriebenen klassischen Strom gekoppelt ist . Dies ist ein exakt lösbares Modell, das von QED inspiriert ist. Als weitere Vereinfachung wird das Quantenfeld anstelle des EM-Feldes ein Skalarfeld sein. Analog dazu werden die Quanten dieses Skalarfeldes "Photonen" genannt.

Im Zusammenhang mit dem freien (nicht wechselwirkenden) Quanten-EM-Feld wird das Wort „Photon“ typischerweise verwendet, um ein Energiequantum zu bezeichnen, und so verwende ich das Wort hier. Der Strom wird nur während eines endlichen Zeitintervalls aktiv sein, und ich werde das Wort "Photon" nur zu Zeiten verwenden, in denen der Strom nicht aktiv ist, damit die Bedeutung von "Energiequant" eindeutig ist.

Um die Länge dieses Beitrags zu begrenzen, wird davon ausgegangen, dass Sie mit einführendem QFT vertraut sind. Die Notation ähnelt der in Kapitel 2 von Peskin und Schroeder's An Introduction to Quantum Field Theory .

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Das Modell und seine exakte Lösung

Das Heisenberg-Bild wird verwendet, daher ist der Zustandsvektor zeitunabhängig, aber seine physikalische Bedeutung ändert sich immer noch mit der Zeit, weil die Observablen dies tun. Die Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild lautet

$$\begin{equation} \partial_\mu\partial^\mu\phi(t,\mathbf{x}) = J(t,\mathbf{x}) \tag{1} \end{equation}$$ Wo$\phi$ist das Quantenfeld und wo$J$ist eine vorgeschriebene Funktion, die in Analogie zum EM-Fall "Strom" genannt wird. Die zeitgleiche Kommutierungsrelation für das Quantenskalarfeld ist $$\begin{equation} \big[\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})\big]=i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). \tag{2} \end{equation}$$ Das Quantenfeld$\phi(t,\mathbf{x})$ist die lokale Observable, die den Feldamplitudenmessungen entspricht.

Die Gleichungen (1)-(2) können exakt gelöst werden. Die Lösung ist

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) = \phi_0(t,\mathbf{x})+\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{3} \end{equation}$$ Wo:

• $\phi_J$ist eine reellwertige Lösung von (1), die mit allem pendelt;

• $\phi_0$ist eine vom Bediener bewertete Lösung für die$J=0$Version von (1), die die Vertauschungsrelation (2) erfüllt.

Nehmen wir von nun an an, dass der Strom nur innerhalb des endlichen Zeitintervalls ungleich Null ist$0<t<T$:

$$\begin{equation} J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ except for }0<t<T \tag{4} \end{equation}$$ und wähle $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ for }t\leq 0. \tag{5} \end{equation}$$ Diese Bedingungen werden alle von erfüllt $$\begin{equation} \phi_0(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_0(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a_0^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{6} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) = \int ds\ \theta(t-s) \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, i\,\frac{e^{-i\omega (t-s)}-e^{i\omega (t-s)}}{2\omega}\, \tilde J(s,\mathbf{p}) \tag{7} \end{equation}$$ mit $$\begin{equation} \omega\equiv \sqrt{\mathbf{p}^2} \hskip2cm \tilde J(s,\mathbf{p}) \equiv \int d^3x\ e^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\,J(s,\mathbf{x}), \tag{8} \end{equation}$$ und wo die Betreiber$a_0(\mathbf{p})$und ihre Adjunkten erfüllen $$\begin{equation} \big[a_0(\mathbf{p}),\,a_0^\dagger(\mathbf{p}')\big]=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{9} \end{equation}$$ Die Betreiber$a_0$Und$a_0^\dagger$sind nur ein grundlegender Satz von Operatoren, durch die alles andere in der Operatoralgebra ausgedrückt werden kann. Definieren Sie einen Zustandsvektor$|0\rangle$durch die Bedingungen $$\begin{equation} a_0(\mathbf{p})\,|0\rangle = 0 \hskip2cm \langle 0|0\rangle = 1 \tag{10} \end{equation}$$ für alle$\mathbf{p}$, und nehmen Sie an, dass der Zustand des Systems derjenige ist, der durch dargestellt wird$|0\rangle$. Hier wird das Heisenberg-Bild verwendet, also hat der Zustandsvektor keine Zeitabhängigkeit, aber der physikalische Zustand, den er darstellt, ändert sich immer noch mit der Zeit, weil die Observablen dies tun.

Der Rest dieser Antwort befasst sich mit der Interpretation des Zustandsvektors (10) sowohl für$t<0$und für$t>T$, zunächst in Bezug auf Photonen und dann in Bezug auf Radiowellen.

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Die Interpretation in Bezug auf Photonen

Gleichung (5) sagt das für$t<0$wir haben das vertraute freie Skalarfeld, und dann erkennen wir den durch (10) definierten Zustand als Vakuumzustand – den Zustand niedrigster Energie ohne Photonen. Dies war natürlich das Motiv für die Wahl des Staates (10).

Die Frage ist, was passiert$t > T$nach der vorübergehenden Strömung$J$. Für diese Zeiten sagt Gleichung (4) aus, dass der Faktor$\theta(t-s)$kann in Gleichung (7) weggelassen werden, da sie bereits durch den Strom selbst erzwungen wird. Daher kann für diese späten Zeiten die Lösung (3) geschrieben werden

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{11} \end{equation}$$ mit $$\begin{equation} a(\mathbf{p}) \equiv a_0(\mathbf{p}) + a_J(\mathbf{p}) \hskip2cm a_J(\mathbf{p}) \equiv \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\int ds\ e^{i\omega s}\tilde J(s,\mathbf{p}). \tag{12} \end{equation}$$ Die komplexwertige Funktion$a_J$kodiert die Wirkung des Stroms.

Vorher können wir den Zustand (10) zeitweise in Form von Photonen interpretieren$t>T$, müssen wir bestimmen, welche Operatoren zu diesen Zeiten Photonenerzeugungs-/-vernichtungsoperatoren darstellen. Der mit der Bewegungsgleichung (1) verknüpfte Hamilton-Operator ist

$$\begin{equation} H(t) = \int d^3x\ \left(\frac{\dot\phi^2(t,\mathbf{x}) +(\nabla\phi(t,\mathbf{x}))^2}{2}-\phi(t,\mathbf{x}) J(t,\mathbf{x})\right). \tag{13} \end{equation}$$ Gleichungen (9) und (12) implizieren $$\begin{equation} \big[a(\mathbf{p}),\,a^\dagger(\mathbf{p}')\big] =(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{14} \end{equation}$$ Jederzeit wofür$J=0$, Gleichungen (11) und (13)-(14) implizieren $$\begin{align} H(t)= \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \omega\,a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}) +h(t) \tag{15} \end{align}$$ Wo$h(t)$ist eine reellwertige Funktion, die diese Analyse nicht beeinflusst. Wann immer$J=0$, haben diese Gleichungen alle die gleiche Form wie im Freifeldfall (wobei$J$ist für alle Zeiten Null). Auf dieser Grundlage können wir interpretieren$a(\mathbf{p})$und sein Adjunkt als die Operatoren, die ein Photon mit dem angegebenen Impuls zeitweise vernichten bzw. erzeugen$t>T$. Die Begründung für diese Interpretation ist identisch mit der entsprechenden Begründung für$a_0$manchmal$t<0$.

Jetzt wissen wir, bei welchen Operatoren Photonen erzeugt und vernichtet werden$t>T$, können wir den Zustand interpretieren$|0\rangle$zu diesen Zeiten. Gleichungen (10) und (12) implizieren

$$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|0\rangle = a_J(\mathbf{p})\,|0\rangle, \tag{16} \end{equation}$$ Dies ist die Definitionsgleichung eines kohärenten Multimode- Zustands . Der Staat$|0\rangle$wurde gewählt, weil es den Vakuumzustand für darstellt$t<0$, aber Gleichung (16) besagt, dass es sich nicht mehr um den Vakuumzustand in Bezug auf Observablen at handelt$t>T$. Der Vakuumzustand bei$t>T$wird stattdessen durch den Zustandsvektor dargestellt$|T\rangle$das befriedigt $$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|T\rangle = 0. \tag{17} \end{equation}$$ Gleichung (14) impliziert, dass die Beziehung zwischen dem kohärenten Zustand (16) und dem Vakuumzustand (17) besteht $$\begin{equation} |0\rangle \propto \exp\big(A^\dagger \big)\,|T\rangle =|T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}(A^\dagger)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}(A^\dagger)^3|T\rangle +\cdots \tag{18} \end{equation}$$ mit $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}). \tag{19} \end{equation}$$ In Worten, der Zustand zuweilen$t>T$ist eine spezielle Überlagerung verschiedener Anzahlen identischer Photonen, alle mit demselben Profil, das durch die komplexwertige Funktion beschrieben wird$a_J(\mathbf{p})$.

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Die Deutung als Radiowelle

Jederzeit$t$, Gleichungen (3)-(10) implizieren

$$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{20} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle - \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle\, \langle 0|\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle = \langle 0|\phi_0(t,\mathbf{x})\phi_0(t,\mathbf{y})|0\rangle. \tag{21} \end{equation}$$ Gleichung (20) besagt, dass sich der Erwartungswert des Quantenfeldes genauso verhält wie eine vom Strom erzeugte klassische Welle$J(t,\mathbf{x})$. Gleichung (21) besagt, dass die Schwankungen in den Ergebnissen von Feldamplitudenmessungen genauso klein sind wie im Vakuum. Wenn der Strom$J$groß genug ist, sodass der Erwartungswert (20) groß genug ist, dann ist die Quadratwurzel von (21) im Vergleich zu (20) vernachlässigbar. In diesem Fall haben wir eine klassische Welle für alle praktischen Zwecke. Indem wir die Oszillationsfrequenz des Stroms wählen, können wir daraus eine Radiowelle machen.

Insgesamt zeigt dies, dass wenn wir mal mit dem Vakuum anfangen$t<0$und während des Intervalls einen Strom einschalten$0<t<T$, dann zeitweise der Staat$t>T$ist ein kohärenter Zustand von Photonen, und derselbe Zustand kann auch als effektiv klassische Welle interpretiert werden.

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Klassische Superposition versus Quantensuperposition

Beachten Sie, dass eine klassische Überlagerung von zwei solchen effektiv klassischen Wellen erhalten wird, indem die entsprechenden Einzelphotonenprofile im Exponenten von Gleichung (18) wie folgt hinzugefügt werden:

$$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger + A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{22} \end{equation}$$ Dies folgt daraus, dass eine solche Überlagerung durch eine klassische Strömung der Form erzeugt wird$J=J_1+J_2$, Wo$J_1$Und$J_2$können (zum Beispiel) in verschiedenen Raumregionen lokalisiert sein. Dagegen hat eine Quantenüberlagerung zweier quasi-klassischer Wellen die Form $$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger\big)\,|T\rangle + \exp\big(A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{23} \end{equation}$$ In diesem Zustand gilt Gleichung (21) nicht; Schwankungen der Feldamplituden-Messergebnisse sind typischerweise genauso groß wie der Erwartungswert, so dass eine Quantenüberlagerung zweier praktisch klassischer Wellen überhaupt nicht wie eine klassische Welle ist.