Zusammenhang zwischen Wellengleichung des Lichts und Photonenwellenfunktion?

Angenommen in unserem Doppelspalt-Versuchsaufbau mit den üblichen Notationen D , D , haben wir einen Lichtstrahl bekannter Frequenz ( v ) und Wellenlänge ( λ ) - so können wir es beschreiben

(1) ξ 0 = A Sünde ⁡ ( k X − ω T ) .
Es geht durch die beiden Löcher und bewegt sich vorwärts, indem es die üblichen Interferenz-Zeugs macht, so dass die endgültige Form der Welle sein wird
(2) ξ = ξ 1 + ξ 2 = 2 A cos ⁡ ( u / 2 ) Sünde ⁡ ( k X − ω T + 0,5 ∗ u )
Wo u ist die Phasendifferenz.

Wir können die Phasendifferenz umwandeln u zum Wegunterschied Q . Jetzt wählen wir den Point of Interest auf dem Bildschirm aus ( S ) ,(die von der Gangdifferenz q und damit der Phasendifferenz u abhängt). Die Amplitude bei S wird sein

(3) ξ = 2 A cos ⁡ ( A S ) Sünde ⁡ ( k X − w T + A S ) ,
Wo A ist konstant.

Nun ist diese Amplitude eine Menge von Wellen, die mit verschiedenen Phasen interferieren, und ist eine Funktion der Variablen S , X , T . Da ich den Bildschirm in einem festen Abstand platziert habe X = D von der Wand mit Schlitzen, ξ reduziert sich auf eine Funktion von zwei Variablen S , T . Umschreiben

(4) ξ D = 2 A cos ⁡ ( A S ) Sünde ⁡ ( A S − w T + k D ) ,
dies ist auch eine Wellenbeschreibung (aber mit anderer Bedeutung).

Der Bildschirm ist entlang unserer X -Achse (oder um genau zu sein S -Achse). Die auf dem Bildschirm erhaltene Intensität ist proportional zum absoluten Quadrat der oben geschriebenen Wellenamplitude, die wiederum davon abhängt S (und auch t).

Aber die Intensität ist auch proportional zur Anzahl der Photonen. Wir postulieren also, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon auftrifft, eine bestimmte ist S ist proportional zu der

(5) Intensität = | Amplitude | 2 .

Nun die Funktion ξ Ich habe oben geschrieben, ist die Wellenfunktion ( ψ ) aus der Quantenmechanik mit S sich benehmen wie X (In ψ )? Wenn nicht, was ist dann die Beziehung zwischen ihnen? (Abhängig von Ihrer Antwort werde ich einige zusätzliche Dinge zu fragen haben.) Vielen Dank!

Sie haben viele Fehler gemacht, sehen Sie sich besser den Artikel in Wikipedia mit dem Doppelschlitz an
Danke für den Hinweis. In einem späteren Stadium habe ich austauschbar as als u/2 verwendet. Jedenfalls habe ich das gleiche korrigiert. Ist das der Fehler, auf den Sie hingewiesen haben?

Antworten (2)

Die Funktionen, die Sie aufschreiben, sind Lösungen der Maxwell-Gleichungen (wenn Sie sie als einsame, kartesische Komponenten betrachten) und haben als solche eine exakte Beziehung zum Ein-Photon-Quantenzustand des Quantenphotonenfelds.

Ob dies nun eine Photonenwellenfunktion ist, hängt von Ihren Definitionen ab. Wenn Sie den Quantenzustand eines Einphotons, den sogenannten Fock-Zustand des Quantenphotonenfeldes, in Ortskoordinaten aufschreiben wollen, sind Sie zum Scheitern verurteilt (die Ortskoordinatenkomponenten sind das, was die meisten Leute unter "Wellenfunktion" verstehen) . Es gibt keine Beschreibung des Photons, dessen quadratischer Modul die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Photon zu finden, wie es bei der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung für das Elektron der Fall ist. Dieser Mangel hat damit zu tun, dass es keine nichtrelativistische Beschreibung des Photons gibt: Die Maxwellschen Gleichungen sind bereits vollständig relativistisch und können tatsächlich in einer Form geschrieben werden, die sie als analog zur Dirac-Gleichung für ein masseloses Teilchen zeigt.

Was Sie jedoch tun können, ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude zu beschreiben, mit der ein Photon an einem bestimmten Punkt in Raum und Zeit von einem idealen Detektor absorbiert wird . Diese Wahrscheinlichkeitsamplitude haben Sie in Ihrer Frage aufgeschrieben.

Diese Absorptionswahrscheinlichkeitsamplitude bezieht sich auf einen Ein-Photonen-Fock-Zustand ψ des Quantenlichtfeldes wie folgt:

(1) ϕ → E ( R → , T ) = ⟨ 0 | E ^ + ( R → , T ) | ψ ⟩ ϕ → B ( R → , T ) = ⟨ 0 | B ^ + ( R → , T ) | ψ ⟩

Wo ψ ist der (Heisenberg-Bild) Lichtfeld-Quantenzustand, B ^ + , E ^ + sind die positiven Frequenzanteile der (vektorwertigen) elektrischen und magnetischen Feldobservablen und natürlich ⟨ 0 | ist der einzigartige Grundzustand des Quantenlichtfeldes.

Diese Beziehung ist umkehrbar, dh bei gegebenem Vektorwert ϕ → E , ϕ → B , kann man den Ein-Photon-Lichtfeld-Quantenzustand auf einzigartige Weise rekonstruieren, so dass man sich das als eine besondere Darstellung des Ein-Photon-Zustands vorstellen kann.

Für Ein-Photon-Zustände ϕ → E , ϕ → B erfülle die Maxwell-Gleichungen; umgekehrt definiert jede klassische Lösung der Maxwell-Gleichungen durch die Umkehrung von (1) auch einen entsprechenden Ein-Photonen-Zustand.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Photon destruktiv zu detektieren, wenn der Zustand richtig normalisiert ist, ist das Analogon der klassischen Energiedichte (die Normalisierung macht die klassische Energiedichte zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte), dh

P ( R → , T ) = 1 2 ϵ 0 | ϕ → E | 2 + 1 2 μ 0 | ϕ → B | 2

Siehe meine Antwort hier für weitere Informationen und Referenzen.

Danke, dass du diese wunderbare Erkenntnis teilst, obwohl ich mir nicht sicher bin, wie gut ich das verstanden habe. Nur als Take-Home-Nachricht: Angenommen, ich mache ein Doppelspaltexperiment mit einem Licht und erhalte eine Interferenz und damit ein Lambda 1. Wenn ich nun irgendwie das Experiment mit Elektronen so durchführe, dass ich genau die gleiche Interferenz erhalte und parallel die See-Broglie-Wellenlänge berechne Lambda 2 dieser Elektronen. Werden diese Lambda 1 und 2 gleich sein (unter der Annahme, dass die Relativitätseigenschaft von Licht nicht existiert).
Aus meiner Interpretation Ihrer obigen Antwort scheint mir, dass wir das Konzept der Wellenfunktion, wie wir es in der Schrödinger-Gleichung kennen, einfach nicht auf Photonen erweitern können. Wenn also die modifizierte relevistische Gleichung eine neue Wellengleichung impliziert, können wir dann sagen, dass diese Wellen mit ihren EM-Wellen identisch (verwandt) sind.
@ManishKumarSingh Ihr letzter Kommentar ist ziemlich genau richtig. Die Take-Home-Message ist, dass eine Lösung der klassischen Maxwell-Gleichungen eindeutig einen Ein-Photonen-Zustand definiert. Die aus dieser Lösung errechnete „Energiedichte“ ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Photon an einem gegebenen Punkt mit einem idealen Detektor zu absorbieren . Dieser letzte Begriff unterscheidet sich auf subtile Weise von dem Begriff „ein Teilchen finden“, den man beispielsweise bei der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung verwendet sieht, um „Formen“ von Atomorbitalen zu definieren. Interessanterweise ist dieser "Finden"-Begriff im relativistischen Dirac fehlerhaft ....
@ManishKumarSingh-Gleichung auch. Aber für die beschriebene experimentelle Situation, wenn Sie Photonen gegen Elektronen austauschen und die Elektronenwellenfunktion verwenden, um Nachweisdichten für das Elektron vorherzusagen, und Ihre Funktionen verwenden, um dasselbe für Photonen in den analogen Experimenten vorherzusagen, wären die Ergebnisse die gleichen. Das hätte ich deutlicher machen sollen. Aus diesem Grund nennen manche Leute das, was Sie geschrieben haben, die "Photonenwellenfunktion".
@ user929304 Ein Strahl ist eigentlich eine Definition einer ebenen Welle oder zumindest einer lokal ebenen Welle, dh ein Feld mit Wellenfronten, die über mehrere Wellenlängen senkrecht zum Strahl als flach angesehen werden können. Die Störung ist über den Raum verteilt: Sie kann sich also immer noch selbst stören, wenn die Kopien unterschiedliche Entfernungen zurücklegen. Aber hier kommt der Begriff der Kohärenzlänge ins Spiel: Die Quelle muss so kohärent sein, dass die Störung um die Entfernung verzögert wird X korreliert stark mit der Entfernungsverzögerung X + Δ , Wo Δ ist der Wegunterschied. Wenn das Licht ...
@ user929304 eine kurze Kohärenzlänge, Interferenzen treten nicht auf. In der Tat wird stark inkohärentes Licht verwendet, um Dinge wie die optische Kohärenztomographie und andere Arten der Weißlichtinterferometrie zum Laufen zu bringen: Sie finden heraus, wo Sie Interferenzen bekommen, und an diesem Punkt wissen Sie, dass die Weglängen ausgeglichen sein müssen.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Vielen Dank für die prompte Antwort. Ich glaube, ich verstehe den Kern Ihrer Punkte, also lag ich hauptsächlich falsch, als ich annahm, dass es wie zwei Partikel ist, die reisen und sich wieder vereinen. Wenn wir dieses klassische Bild von Wellen auf die Einzelphotoneninterferenz in der QM erweitern wollten, verwenden wir den gleichen Aufbau, aber mit einem einzelnen Photon: Der Strahlteiler teilt die Wahrscheinlichkeiten in Reflexion und Transmission auf, und wir sagen, das Photon ist es in einer Überlagerung bis gemessen. ...
@WetSavannaAnimalakaRodVance ... Aber warum hängt die Überlagerung auch in diesem Fall von den Pfadlängen ab? Noch ein einfacheres Szenario: Lassen Sie uns einfach zwei Detektoren am Ende jedes Pfades nach der BS platzieren (keine Spiegel). Bei einem einzelnen Photon haben wir nach der BS eine Überlagerung von Transmissions- und Reflexionspfaden, aber wie können wir erklären, dass die Amplituden in dieser Überlagerung von der Pfadlänge abhängen? (dh wenn ich die Längen ändere, ändere ich die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon an einem Detektor in Bezug auf den anderen erfasst wird). Wirklich schwer zu fassen...
@ user929304 Die Phase der Amplitude hängt zwar von den Pfadlängen ab - aber ich kann nicht erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeit ändert, wenn sich am Ende der Pfade keine Spiegel befinden. Man sollte hier wirklich an das Quantenfeld denken: Der Ein-Photonen-Zustand ist eine stark delokalisierte Sache. Ich werde heute Abend vielleicht nicht mehr antworten, aber ich bin definitiv daran interessiert, das zu klären, da Sie hier eine gute Frage zu haben scheinen, also können wir das vielleicht morgen im Chat wieder aufgreifen.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Sicher, keine Sorge, es ist möglicherweise einfacher, dies per E-Mail zu besprechen, wenn das für Sie in Ordnung ist, oder im Chat hier. Lass es mich wissen, freue mich auf jeden Fall darauf, von dir zu hören ;)
Dies scheint hilfreich zu sein, und ich werde mir etwas Zeit nehmen, um mir die von Ihnen bereitgestellten Referenzen anzusehen. Aber folgender Punkt stört mich. Der Ausdruck, den Sie für die (nicht normalisierte) Wahrscheinlichkeit einer destruktiven Erkennung angeben, ist die Energiedichte, die die 00-Komponente der Stressenergie ist. Aber die Dichte eines Skalars muss durch die 0-Komponente eines Vierervektors beschrieben werden. Bedeutet dies nicht, dass es die falschen Transformationseigenschaften hat? Oder ist dieser Ausdruck nur im Ruhesystem des Detektors gültig zu interpretieren?

Ich beziehe mich auf Ihre Hauptfragen,

  • 1) die Funktion ξ Ich habe oben geschrieben, ist die Wellenfunktion ψ aus der Quantenmechanik mit S sich benehmen wie X (In ψ )? Wenn nicht, was ist dann die Beziehung zwischen ihnen?

Wenn Sie die Funktion geschrieben hätten ξ richtig wie im Artikel über das 2slit-Experiment, ja , die Amplitude auf dem Bildschirm wurde durch die Funktion angegeben ξ .

  • 2) Aber die Intensität ist auch proportional zur Anzahl der Photonen. Wir postulieren also, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon auftrifft, eine bestimmte ist S ist proportional zu der Intensität = | Amplitude | 2 .

Ja und nein . Hier gibt es zwei Probleme, und Sie müssen zwischen ihnen unterscheiden. A) Die Klarheit des Musters hängt von der Anzahl der Photonen ab. B) Aber die Positionen der Minima und Maxima nicht, sie sind gleich, egal wie viele Photonen Sie senden.

Lassen Sie mich erklären: Wenn Sie nur ein Photon durch den Doppelspalt schicken, sehen Sie kein Muster. Das Standard-QM sagt, dass das Muster existiert, aber Sie können es nicht sehen, weil das Photon an einem Punkt des Bildschirms absorbiert wird, Sie werden das Muster nicht sehen, nur den Punkt. Aber wenn Sie ein weiteres Photon senden, und noch eins, und so weiter, werden mehr Punkte auf dem Bildschirm erscheinen, und Sie werden sehen, dass sie gemäß dem Muster erscheinen, das durch Ihre eq angezeigt wird. (5). Je mehr Photonen Sie senden, desto mehr von demselben , ein und demselben Muster, klarer.

was bedeutet | ψ ( X , T ) | 2 = | U ( X ) | 2 und wir kehren zu seiner ursprünglichen Frage zurück.
Zusammenhang zwischen Wellengleichung des Lichts und Photonenwellenfunktion?
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