Bleibt die gesamte mechanische Energie in einem System erhalten, das eine vereinfachende Annäherung an eine tatsächliche Achterbahn ist?

Angenommen, Sie haben einen zweidimensionalen euklidischen Raum, in dem eine Dimension nach links und rechts und die andere nach oben und unten verläuft, wobei eine der Längeneinheiten der Meter ist. Angenommen, es gibt auch eine Zeitdimension und eine der Zeiteinheiten ist die Sekunde, und es gibt ein Gravitationsfeld, das mit der Beschleunigung nach unten zieht$g$. Nehmen Sie außerdem an, dass die Höhe absolut ist. Angenommen, es gibt eine Linie in dieser Ebene, die sich nicht mit der Zeit ändert, deren Richtung kontinuierlich mit der Position auf der Linie ist und die in eine Richtung entlang der Linie verläuft, ist die Komponente Ihrer Geschwindigkeit, die nach rechts geht, immer nichtnegativ. Jetzt können wir die Geschwindigkeit entlang der Linie für jede kontinuierlich differenzielle Bewegung auf der Linie definieren. Nehmen wir nun auch an, dass es einen Punkt gibt, der auf diese Linie mit einer bestimmten positiven Masse beschränkt ist$m$was der Newtonschen Physik folgt und auf diesen Punkt wirken immer nur 2 Kräfte, von denen eine mit der Größe nach unten geht$mg$und eine, die senkrecht zu dem Teil der Strecke wirkt, auf dem sie sich befindet. Das macht nur Sinn, wenn die Richtung der Linie differentiell ist, geschweige denn stetig an diesem Punkt. Wenn das der Fall ist, können wir zeigen, dass seine Beschleunigung entlang der Strecke ist$-g\sin\theta$Wo$\theta$ist also der Winkel der Richtung der Spur über der Horizontalen$\theta$ist in nach oben gehenden Teilen positiv und in nach unten gehenden Teilen negativ und ist dazwischen begrenzt$\frac{\pi}{2}$Und$\frac{-\pi}{2}$.

Lassen wir stattdessen das Kriterium fallen, dass die Steigung der Linie differenzierbar ist, und fordern nur, dass sie stetig ist, und ersetzen die Kriterien der Gravitationskraft und der Normalkraft, die diese Eigenschaften nicht erfüllen, einfach durch das Kriterium, dass ihre Beschleunigung entlang der Spur ist$-g\sin\theta$. Ich definiere die Beschleunigung entlang der Strecke als die zweite zeitliche Ableitung davon, wie weit der Punkt entlang der Linie ist. Mir ist klar, dass, obwohl dies immer definiert ist, die tatsächliche Beschleunigung des Punktes, die Ableitung seiner Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit, manchmal undefiniert sein kann. Lassen Sie uns seine potentielle Energie definieren als$mgh$und es ist kinetische Energie als$\frac{mv^2}{2}$. Definieren wir seine gesamte mechanische Energie als seine potentielle Energie plus seine kinetische Energie. Meine Frage ist

Können wir zeigen, dass seine gesamte mechanische Energie immer erhalten bleibt?