Es gibt immer eine grundlegende Antwort auf diese Frage: Schreiben Sie das komplexe Boson/Fermion in Form von echtem Boson/Fermion ($a=a_R+i a_I$, etc), stecken Sie es ein und diagonalisieren Sie es dann durch orthogonale Matrizen. Dies ist wahrscheinlich der natürlichere Weg, dies für nicht konservierende Partikelsysteme zu tun.

Wenn man darauf besteht, es in Bezug auf komplexe Boson / Fermion zu tun, ist es immer noch möglich, aber oft ärgerlich. Dies liegt daran, dass man (allgemein) auch den Real- und den Imaginärteil der Variablen transformieren muss, was einen dazu zwingt, die Größe der einzubeziehenden Matrix zu verdoppeln$( a,a^{\dagger},b,b^{\dagger})^T$alles zusammen, wie der Nambu-Spinor, wenn man nach dem Mean-Field-Hamilton-Operator von Supraleitern auflöst. Der lästige Teil ist, dass man sich um die Redundanz in den Matrixkomponenten kümmern muss.

Es gibt zwei Methoden, um dieses Problem anzugehen:

1. Wie in der Antwort von Yen-Ta Huang und auch in der Antwort von Everett You (EY16) auf diese verwandte Frage ausgeführt, können wir die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in einen realen und einen imaginären Teil aufteilen.
2. Wie in (Capri, 2002; pg448) angedeutet, können wir die Bogoliubov-Transformation verallgemeinern, um mit komplexen Hamiltonoperatoren zu arbeiten.

Hier mache ich ein einfaches Beispiel mit dem folgenden fermionischen Hamiltonoperator:

$$H=\varepsilon c_1^\dagger c_1+\varepsilon c_2^\dagger c_2+\lambda i(c_1^\dagger c_2^\dagger-c_2c_1)\tag{1}$$

Methode 1

Wir lassen:

$$c_j=a_j+i b_j\quad \text{for}\quad j=1,2 \tag{2}$$ Wo$a_j^\dagger=a_j$Und$b_j^\dagger=b_j$. Wie in EY16 für gezeigt$a_j$Und$b_j$wir haben die folgenden Vertauschungsbeziehungen $$\{a_j,a_j\}=\{b_j,b_j\}=1$$ $$\{a_1,a_2\}=\{b_1,b_2\}=\{a_i,b_j\}=0$$ Wenn wir also (2) in (1) einsetzen, erhalten wir (nach etwas Algebra): $$H=2i (\varepsilon a_1b_1+\varepsilon a_2 b_2+\lambda a_1 a_2-\lambda b_1 b_2)$$ $$=2i\begin{pmatrix} a_1 &b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varepsilon & \lambda \\ \lambda &\varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}$$ Wie in EY16 erklärt, eine Bogoliubov-Transformation von$a_j$Und$b_j$ist eine orthogonale Transformation im Fall von Fermionen. Wenn wir also lassen: $$\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1 \\ d_2\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ e_2\end{pmatrix}$$ wobei die neuen fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gegeben sind durch$f_j=d_j+ie_j$mit entsprechender Auswahl$\theta$dies wird den Hamilton-Operator diagonalisieren

Methode 2

In Methode 2 verallgemeinern wir einfach die Bogoliubov-Transformation. Betrachten Sie die Transformation:

$$f_j=u_jc_j+v_j c_j^\dagger$$ Wir müssen die Bedingungen durchsetzen, die: $$\{f_i,f_j\}=0, \quad \{ f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}$$ Wenn wir dies tun, bekommen wir, dass wir brauchen: $$u_1v_2+u_2v_1=0\tag{3}$$ Und $$|u_j|^2+|v_j|^2=1\tag{4}$$ (4) impliziert, dass wir haben: $$u_j=\cos(\theta_j) e^{i\phi_j^u}\quad v_j=\sin(\theta_j) e^{i\phi_j^v}$$ während mit diesen (3) impliziert, dass: $$\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)=-\cos(\theta_2) \sin(\theta_1),\quad \phi_1^u+\phi_2^v=\phi_2^u+\phi_1^v$$ Zusammengenommen lautet die allgemeine Bololiubov-Transformation fermionischer Operatoren:

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cos(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p)\\ -e^{-i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cos(\theta_p) \end{pmatrix}$$ Damit kann dann der Standardmethode der Bololiubov-Transformation gefolgt werden.

Als Referenz gilt die allgemeine Bololiubov-Transformation für Bosonen (nach meinen Berechnungen:

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cosh(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p)\\ e^{-i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cosh(\theta_p) \end{pmatrix}$$