Fetter & Waleckas Ableitung des zweiten quantisierten Potentialterms in Vielteilchen-TDSE

Question

Fetter & Waleckas Ableitung des zweiten quantisierten Potentialterms in Vielteilchen-TDSE

Benutzer2582713

Ich verstehe, dass wir für den Potentialterm im Hamilton-Operator den gleichen Prozess durchlaufen wie für den kinetischen Energieterm. Auf der rechten Seite des TDSE erhalten wir so etwas wie $\frac{1}{2}\sum_{i}\sum_{j\neq i}\sum_{k}\sum_{l\neq k}\langle ij|V|kl\rangle C(\dots E_{i-1}E_kE_{i+1}\dots E_{j-1}E_lE_{j+1}\dots;t)$ .

Neuordnung der Argumentliste von $C(\dots)$ auf der rechten Seite entsteht ein Phasenfaktor von $(-1)^P$ , Wo $P$ hängt von der Reihenfolge ab $i, j, k, l$ .

Einige Beispiele: Wenn ihre Aufstiegsreihenfolge ...

$kilj$ : $P = n_{k+1}+\dots+n_{i-1}+n_{l+1}+\dots+n_{j-1}$

$klij$ : $P = n_{k+1}+\dots+n_{i-1}+n_{l+1}+\dots+n_{j-1}$

$likj$ : $P=n_{i+1}+\dots+n_{k-1}+n_{l+1}+\dots+n_{j-1}+1$ [Das Extra $+1$ kommt daher, dass $i$ Und $j$ mit entgegengesetzter 'Polarität' positioniert sind $k$ Und $l$ , deshalb, die $E_k,E_l$ müssen aneinander vorbei getauscht werden, um in die richtigen Positionen zu gelangen]

Wie oben, nach meiner Berechnung, $P(klij)=P(kilj)$ , aber wenn wir rechnen $(-1)^P$ durch den Betrieb auf $|\lbrace n_m\rbrace\rangle$ wie $a_i^{\dagger} a_j^{\dagger} a_l a_k|\lbrace n_m\rbrace\rangle$ , Ich bekomme $(-1)^{S_k+S_{l}-1+S_{j}-2+S_{i}-2}|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_j+1\dots n_i+1\rangle \\ = (-1)^{S_k+S_{l}+S_{j}+S_{i}-1}|\dots n_k-1\dots n_l-1\dots n_j+1\dots n_i+1\dots\rangle$

wenn die bestellung ist $klij$ Aber

$(-1)^{S_k+S_{l}-1+S_{j}-2+S_{i}-1}|\dots n_k-1\dots n_l-1\dots n_j+1\dots n_i+1\dots\rangle\\= (-1)^{S_k+S_{l}+S_{j}+S_{i}}|\dots n_k-1\dots n_l-1\dots n_j+1\dots n_i+1\dots\rangle$

wenn die bestellung ist $kilj$ . Die Reihenfolge von $i$ Und $l$ scheint eine Rolle zu spielen, wenn ich den Phasenfaktor durch sukzessive Anwendung der berechne $a, a^{\dagger}$ aber nicht, wenn ich es durch Neuordnung der Argumente von berechne $C(\dots)$ Koeffizienten. Wo gehe ich falsch?

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udrv · Answer 1

Lassen Sie die Reihenfolge der Besetzungsnummern $n_m$ in den Fock-Staaten so sein $\left( klij \Leftrightarrow k<l<i<j \right)$ und lass $S_m = n_1 + n_2 + \dots + n_{m-1}$ Phasenfaktoren berechnet werden, bevor irgendwelche Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren angewendet werden.

Sie berücksichtigen richtigerweise, dass die Anwendung eines Vernichtungsoperators den Phasenfaktor für die Aktion des nächsten Operators um verringert $1$ , sollte aber auch berücksichtigen, dass die Anwendung eines Erzeugungsoperators den Phasenfaktor für den nächsten Operator um 1 erhöht .

Nehmen Sie die $klij$ , $k<l<i<j$ Fall Schritt für Schritt:

A_{J}^{†} A_{ich}^{†} A_{l} A_{k} | \dots N_{k} \dots N_{l} \dots N_{ich} \dots N_{J} \dots ⟩ = (- 1)^{S_{k}} δ_{N_{k}, 1} A_{J}^{†} A_{ich}^{†} A_{l} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{l} \dots N_{ich} \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{l} - 1} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{l}, 1} A_{J}^{†} A_{ich}^{†} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{l} - 1 \dots N_{ich} \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{l} - 1 + S_{ich} - 2} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{l}, 1} δ_{N_{ich}, 0} A_{J}^{†} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{l} - 1 \dots N_{ich} + 1 \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{l} - 1 + S_{J} - 2 + S_{ich} - 2 + 1} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{l}, 1} δ_{N_{ich}, 0} δ_{N_{J}, 0} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{l} - 1 \dots N_{ich} + 1 \dots N_{J} + 1 \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{l} + S_{J} + S_{ich}} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{l}, 1} δ_{N_{ich}, 0} δ_{N_{J}, 0} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{l} - 1 \dots N_{ich} + 1 \dots N_{J} + 1 \dots ⟩

$a_j^{\dagger} a_i^{\dagger} a_l a_k|\dots n_k\dots n_l \dots n_i\dots n_j\dots\rangle = (-1)^{S_k}\delta_{n_k,1}a_j^{\dagger} a_i^{\dagger} a_l |\dots n_k-1\dots n_l \dots n_i\dots n_j\dots\rangle =\\ = (-1)^{S_k+S_l-1}\delta_{n_k,1}\delta_{n_l,1}a_j^{\dagger} a_i^{\dagger}|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_i\dots n_j\dots\rangle = \\ = (-1)^{S_k+S_l-1+S_i-2}\delta_{n_k,1}\delta_{n_l,1}\delta_{n_i,0}a_j^{\dagger}|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_i+1\dots n_j\dots\rangle = \\ = (-1)^{S_k+S_l-1+S_j-2+S_i-2+1}\delta_{n_k,1}\delta_{n_l,1}\delta_{n_i,0}\delta_{n_j,0}|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_i+1\dots n_j+1\dots\rangle =\\ = (-1)^{S_k+S_l+S_j+S_i}\delta_{n_k,1}\delta_{n_l,1}\delta_{n_i,0}\delta_{n_j,0}|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_i+1\dots n_j+1\dots\rangle$ Nimm jetzt die

k i l j

$kilj$ ,

k < i < l < j

$k<i<l<j$ Fall:

A_{J}^{†} A_{l}^{†} A_{ich} A_{k} | \dots N_{k} \dots N_{ich} \dots N_{l} \dots N_{J} \dots ⟩ = (- 1)^{S_{k}} δ_{N_{k}, 1} A_{J}^{†} A_{l}^{†} A_{ich} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{ich} \dots N_{l} \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{ich} - 1} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{ich}, 1} A_{J}^{†} A_{l}^{†} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{ich} - 1 \dots N_{l} \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{ich} - 1 + S_{l} - 2} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{ich}, 1} δ_{N_{l}, 0} A_{J}^{†} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{ich} - 1 \dots N_{l} + 1 \dots N_{J} \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{ich} - 1 + S_{l} - 2 + S_{J} - 2 + 1} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{ich}, 1} δ_{N_{l}, 0} δ_{N_{J}, 0} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{ich} - 1 \dots N_{l} + 1 \dots N_{J} + 1 \dots ⟩ = = (- 1)^{S_{k} + S_{l} + S_{J} + S_{ich}} δ_{N_{k}, 1} δ_{N_{ich}, 1} δ_{N_{l}, 0} δ_{N_{J}, 0} | \dots N_{k} - 1 \dots N_{ich} - 1 \dots N_{l} + 1 \dots N_{J} + 1 \dots ⟩

$a_j^{\dagger} a^{\dagger}_l a_i a_k|\dots n_k\dots n_i \dots n_l\dots n_j\dots\rangle = (-1)^{S_k}\delta_{n_k,1}a^{\dagger}_j a^{\dagger} _l a_i|\dots n_k-1\dots n_i \dots n_l\dots n_j\dots\rangle =\\ = (-1)^{S_k+S_i-1}\delta_{n_k,1}\delta_{n_i,1}a^{\dagger}_j a^{\dagger}_l|\dots n_k-1\dots n_i-1 \dots n_l\dots n_j\dots\rangle = \\ = (-1)^{S_k+S_i-1+S_l-2}\delta_{n_k,1}\delta_{n_i,1}\delta_{n_l,0}a^{\dagger}_j|\dots n_k-1\dots n_i-1 \dots n_l+1\dots n_j\dots\rangle = \\ = (-1)^{S_k+S_i-1+S_l-2+S_j-2+1}\delta_{n_k,1}\delta_{n_i,1}\delta_{n_l,0}\delta_{n_j,0}|\dots n_k-1\dots n_i-1 \dots n_l+1\dots n_j+1\dots\rangle =\\ = (-1)^{S_k+S_l+S_j+S_i}\delta_{n_k,1}\delta_{n_i,1}\delta_{n_l,0}\delta_{n_j,0}|\dots n_k-1\dots n_i-1 \dots n_l+1\dots n_j+1\dots\rangle$ Es checkt aus.

Danke noch einmal. Ein paar Fragen, obwohl. Im $klij$ Fall, wenn wir uns endlich bewerben $a_i^\dagger$ , nicht $i<j$ meinen, dass $a_i^\dagger|\dots n_k-1\dots n_l-1\dots n_j+1\dots\rangle = a_i^\dagger\dots a_{k-1}^\dagger a_{k+1}^\dagger \dots a_{l-1}^\dagger a_{l+1}^\dagger\dots a_{j-1}^\dagger a_{j}^\dagger a_{j+1}^\dagger\dots|0\rangle = (-1)^{S_i-2 +0} \dots a_{k-1}^\dagger a_{k+1}^\dagger \dots a_{l-1}^\dagger a_{l+1}^\dagger\dots a_{i-1}^\dagger a_{i}^\dagger a_{i+1}^\dagger\dots a_{j-1}^\dagger a_{j}^\dagger a_{j+1}^\dagger\dots|0\rangle$ , anstatt mit der zusätzlichen 1 im Phasenfaktor?
Und wie kommt es, dass wir die Reihenfolge der Operatoren in der vertauschen dürfen? $kilj$ Fall?
Willkommen. Um $i<j$ : Von der Bestellung des Finales $n_m$ -s in beiden Ihren $klij$ Und $kilj$ Fälle, was geht $|\dots n_k-1\dots n_l-1 \dots n_j+1\dots n_i+1\dots\rangle$ , folgerte ich, dass die Indizes so sein müssen $k<l<j<i$ , und von der Abnahme/Erhöhung der Besetzungszahlen, dass es Schöpfungsoperationen geben muss. für $i$ Und $j$ und Vernichtungsoperationen. für $k$ Und $l$ . Aber wenn stattdessen $i<j$ , ja, dann hättest du $(-1)^{S_i-2} since$ a_i^\dagger$ würde mit 2 Ops weniger anticommuten.
Was das Tauschen der Reihenfolge angeht, bin ich angesichts des endgültigen Zustands davon ausgegangen, dass die Operationen gleich sind, aber der Reihe nach getauscht wurden. Ich schätze, du hattest etwas anderes im Sinn?
Verzeihung. Ich habe die bestellt $n_k, n_l$ etc. zu Unrecht in den Staaten. Ich meinte die Reihenfolge wie in der angegeben $klij, kilj$ usw. also $klij \rightarrow k<l<i<j$ , Zum Beispiel.
Bei einem zweiten Gedanken sehen die Begriffe, die ich in der Antwort umgeschrieben habe, nur wie eine Umbenennung voneinander aus. Ich denke, der zweite ist wieder nicht das, wonach Sie gefragt haben, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich die richtige Idee habe, ihn zu beheben. Könnten Sie bitte für jeden Fall explizit aufschreiben, die $C$ Coeffs und Ops-State-Formen, die Sie im Sinn haben? Zum Beispiel so etwas wie $C(\dots E_{k-1}E_{k+1}\dots E_{l-1}E_{l+1}\dots E_{i-1}E_k E_{i+1}\dots E_{j-1}E_l E_{j+1}\dots)$ vs. $a^\dagger_j a^\dagger_i a_l a_k |\dots n_k\dots n_l \dots n_i \dots n_j\dots \rangle$ , usw.
Hallo @udrv. Ziemlich sicher, dass ich herausgefunden habe, wo ich falsch gelaufen bin. Hatte eine Antwort gepostet, wenn Sie einen Blick darauf werfen möchten.

Benutzer2582713 · Answer 2

Ausgearbeitet, wo ich falsch gelaufen bin. Bezugnehmend auf den Inhalt meiner Frage, in der $klij$ Fall, dh $k<l<i<j$ , bei der Nachbestellung der $C(\dots)$ Argumentliste auf der RHS, $E_l$ an dem freien Platz vorbei getauscht werden muss $E_i$ wäre, daher in diesem Fall

$\begin{split} P(klij) &= n_{k+1} + \dots + n_{i-1} + \dots + n_{l+1} + \dots + n_{j-1} - 1 \\ &= S_i - S_k - n_k + S_j - S_l - n_l - 1 \end{split}$

und damit der Phasenfaktor, $(-1)^{P(klij)} = (-1)^{S_i + S_k - n_k + S_j + S_l - n_l - 1}$ , die mit der $\delta_{n_k0}\delta_{n_l0}$ auf der RHS, gibt $(-1)^{S_i+S_k+S_j+S_l-1}$ . Dies ist der gleiche Phasenfaktor, den Sie erhalten, wenn Sie mit dem Zustand wie arbeiten $a^{\dagger}_ia^{\dagger}_j a_la_k|\lbrace n_m\rbrace\rangle$ wie ich in der ursprünglichen Frage erwähnt habe.

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