Die Bogoliubov-Transformation ist keine einheitliche Transformation, richtig?

Question

Die Bogoliubov-Transformation ist keine einheitliche Transformation, richtig?

ZJX

Um den quadratischen Term im antiferromagnetischen Heisenberg-Modell zu diagonalisieren, können wir die Bogoliubov-Transformation einführen: $a_k=u_k\alpha_k+v_k\beta_k^\dagger$ , $b_k^\dagger=v_k\alpha_k+u_k\beta_k^\dagger$ . Diese Transformation kann den quadratischen Term im Hamilton-Operator diagonalisieren:

\begin{aligned} H & = \sum_{k} (a_{k}^{†} a_{k} + b_{k}^{†} b_{k} + γ_{k} a_{k}^{†} b_{k}^{†} + γ_{k} a_{k} b_{k}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & b_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ b_{k}^{†} \end{matrix}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϵ_{k} & 0 \\ 0 & ϵ_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} H &=\sum_k(a^\dagger_ka_k+b^\dagger_kb_k+\gamma_ka^\dagger_kb^\dagger_k+\gamma_ka_kb_k) \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}}^\dagger & b_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}} \\ b_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\epsilon_k &0\\0 &\epsilon_k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \end{align}$

mit $\epsilon_k=\sqrt{1-\gamma_k^2},u_k=\sqrt{\frac{1+\epsilon_k}{2\epsilon_k}},v_k=-\frac{\gamma_k}{\sqrt{2\epsilon_k(1+\epsilon_k)}}$ . Aber die Transformation U: $\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix}$ ist nicht einheitlich, weil $u_k,v_k$ sind real, $U^\dagger\neq U^{-1}$ .

Ist die Anzahl der Bosonen nicht erhalten, so dass die Transformation möglicherweise nicht einheitlich ist? Gibt es Einschränkungen bei der Umwandlung von Bosonen?

leongz

Entscheidend ist, dass nach der Transformation immer noch die Standard-Vertauschungsbeziehungen gelten.

leongz

verwandt: physical.stackexchange.com/q/53158

Antworten (4)

Die Bogoliubov-Transformation ist keine einheitliche Transformation, richtig?

Entscheidend ist, dass nach der Transformation immer noch die Standard-Vertauschungsbeziehungen gelten.

Everett Du · Answer 1

Sie haben Recht, Bogoliubov-Transformationen sind im Allgemeinen nicht einheitlich. Per Definition,

Bogoliubov-Transformationen sind lineare Transformationen von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, die die algebraischen Beziehungen zwischen ihnen bewahren.

Die algebraischen Beziehungen sind hauptsächlich die Kommutierungs-/Antikommutierungsbeziehungen, die die bosonischen/fermionischen Operatoren definieren. Nirgendwo in der Definition haben wir angegeben, dass die Transformation einheitlich sein sollte. Tatsächlich ist die Bogoliubov-Transformation (in ihrer generischsten Form) symplektisch für Bosonen und orthogonal für Fermionen . In keinem Fall ist die Bogoliubov-Transformation einheitlich. Die Bogoliubov-Transformation von Bosonen entspricht der linearen kanonischen Transformation von Oszillatoren in der klassischen Mechanik (weil Bosonen Quanten von Oszillatoren sind), und wir wissen, dass die linearen kanonischen Transformationen aufgrund der symplektischen Struktur des klassischen Phasenraums symplektisch sind.

Um genauer zu sein, was sind die Einschränkungen für Bogoliubov-Transformationen? Betrachten wir den Fall von $n$ Einzelteilchenmoden beider Bosonen $b_i$ oder Fermionen $f_i$ (wo $i=1,2,\cdots,n$ bezeichnet die einzelnen Teilchenzustände, wie z. B. Impuls-Eigenzustände). Beide $b_i$ und $f_i$ sind keine hermiteschen Operatoren, die für eine allgemeine Behandlung nicht ganz bequem sind (weil wir nicht einfach behandeln können $b_i$ und $b_i^\dagger$ als unabhängige Basis, da sie immer noch durch die Teilchen-Loch-Transformation verbunden sind). Daher haben wir uns entschieden, die Operatoren als die folgenden linearen Kombinationen umzuschreiben (motiviert durch die Idee, eine komplexe Zahl in zwei reelle Zahlen zu zerlegen, wie z $z=x+\mathrm{i}y$ ):

\begin{aligned} b_{ich} & = a_{ich} + ich a_{n + ich} \\ b_{ich}^{†} & = a_{ich} - ich a_{n + ich} \end{aligned} \begin{aligned} f_{ich} & = c_{ich} + ich c_{n + ich} \\ f_{ich}^{†} & = c_{ich} - ich c_{n + ich} \end{aligned}

$\begin{split}b_i&=a_i+\mathrm{i}a_{n+i}\\b_i^\dagger&=a_i-\mathrm{i}a_{n+i}\end{split}\qquad \begin{split}f_i&=c_i+\mathrm{i}c_{n+i}\\f_i^\dagger&=c_i-\mathrm{i}c_{n+i}\end{split}$ wo

a_{i} = a_{i}^{†}

$a_i=a_i^\dagger$ und

c_{i} = c_{i}^{†}

$c_i=c_i^\dagger$ (Pro

i = 1, 2, \dots, 2 n

$i=1,2,\cdots,2n$ ) sind hermitesche Operatoren (analog zu reellen Zahlen). Sie müssen die Kommutierungs- oder Antikommutierungsbeziehungen von den "komplexen" Bosonen erben

b_{i}

$b_i$ und Fermionen

f_{i}

$f_i$ :

\begin{aligned} [b_{ich}, b_{j}^{†}] = δ_{ich j}, [b_{ich}, b_{j}] = [b_{ich}^{†}, b_{j}^{†}] = 0 & \Rightarrow [a_{ich}, a_{j}] = \frac{1}{2} g_{ich j}^{a} \\ {f_{ich}, f_{j}^{†}} = δ_{ich j}, {f_{ich}, f_{j}} = {f_{ich}^{†}, f_{j}^{†}} = 0 & \Rightarrow {c_{ich}, c_{j}} = \frac{1}{2} g_{ich j}^{c} \end{aligned}

$\begin{split}[b_i,b_j^\dagger]=\delta_{ij},[b_i,b_j]=[b_i^\dagger,b_j^\dagger]=0&\Rightarrow[a_i,a_j]=\frac{1}{2}g_{ij}^a \\ \{f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}, \{f_i,f_j\}=\{f_i^\dagger,f_j^\dagger\}=0&\Rightarrow\{c_i,c_j\}=\frac{1}{2}g_{ij}^c\end{split}$ wo

g_{i j}^{a}

$g_{ij}^a$ und

g_{i j}^{c}

$g_{ij}^c$ werden manchmal als Quantenmetrik für Bosonen bzw. Fermionen bezeichnet. In Matrixformen werden sie angegeben durch

g^{a} = ich [\begin{matrix} 0 & 1_{n \times n} \\ - 1_{n \times n} & 0 \end{matrix}] g^{c} = [\begin{matrix} 1_{n \times n} & 0 \\ 0 & 1_{n \times n} \end{matrix}],

$g^a=\mathrm{i}\left[\begin{matrix}0&\mathbb{1}_{n\times n}\\-\mathbb{1}_{n\times n}&0\end{matrix}\right] \qquad g^c=\left[\begin{matrix}\mathbb{1}_{n\times n}&0\\0&\mathbb{1}_{n\times n}\end{matrix}\right],$ mit

1_{n \times n}

$\mathbb{1}_{n\times n}$ das sein

n \times n

$n\times n$ Identitätsmatrix. Die algebraischen Beziehungen zwischen den Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren zu bewahren bedeutet also, die Quantenmetrik zu bewahren . Allgemeine lineare Transformationen der Operatoren

a_{i}

$a_i$ und

c_{i}

$c_i$ nimm die Gestalt von

a_{ich} \to \sum_{j} W_{ich j}^{a} a_{j} c_{ich} \to \sum_{j} W_{ich j}^{c} c_{j},

$a_i\to \sum_{j}W_{ij}^a a_j\qquad c_i\to \sum_{j}W_{ij}^c c_j,$ wo die Elemente der Transformationsmatrix

W_{i j}^{a}, W_{i j}^{c} \in R

$W_{ij}^a, W_{ij}^c\in\mathbb{R}$ muss real sein, um sicherzustellen, dass die Betreiber

a_{i}

$a_i$ und

c_{i}

$c_i$ bleiben nach der Transformation hermitesch. Dann ist es erforderlich, die Quantenmetrik zu bewahren

W^{a} g^{a} W^{a ⊺} = g^{a} W^{c} g^{c} W^{c ⊺} = g^{c} .

$W^a g^a W^{a\intercal}= g^a\qquad W^c g^c W^{c\intercal}= g^c.$ Jede reelle lineare Transformation, die die obigen Bedingungen erfüllt, ist also eine Bogoliubov-Transformation im allgemeinsten Sinne. Abhängig von der Eigenschaft der Quantenmetrik ist die Bogoliubov-Transformation dann entweder symplektisch oder orthogonal. Für die bosonische Quantenmetrik gilt

g^{a} = - g^{a ⊺}

$g^a=-g^{a\intercal}$ antisymmetrisch ist , also die Transformation

W^{a}

$W^a$ ist symplektisch . Für die fermionische Quantenmetrik gilt

g^{c} = g^{c ⊺}

$g^c=g^{c\intercal}$ symmetrisch ist , also die Transformation

W^{c}

$W^c$ ist orthogonal .

Kann jemand eine Ressource empfehlen, um mehr über diesen Formalismus zu erfahren, dh die Zerlegung der Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren als "komplexe Zahlen" und die Erhaltung der Quantenmetrik?

hallo · Answer 2

Die Einheitlichkeit einer quantenmechanischen Transformation wird nicht dadurch bestimmt, wie sie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mischt. (Es spielt keine Rolle, welche Art von Matrix – orthogonal, symplektisch oder unitär – an der Mischung beteiligt ist!) Vielmehr sollte untersucht werden, ob die Transformation mit einem unitären Operator verbunden ist, der auf den Hilbert-Raum wirkt.

Die zitierte Bogoliubov-Transformation OP kann wie folgt dargestellt werden ( $\textbf{k}$ -Abhängigkeit wird unterdrückt):

\hat{a} \to {\hat{a}}^{'} = cosch λ \hat{a} + Sünde λ {\hat{b}}^{†}, {\hat{b}}^{†} \to {\hat{b}}^{' †} = Sünde λ \hat{a} + cosch λ {\hat{b}}^{†},

$\hat{a} \ \ \rightarrow \ \ \hat{a}^{\prime} =\, \cosh\lambda\, \hat{a} \,+\, \sinh\lambda\,\hat{b}^{\dagger}, \\ \hat{b}^{\dagger}\ \ \rightarrow\ \ \hat{b}^{\prime\,\dagger} =\, \sinh\lambda\, \hat{a} \,+ \,\cosh\lambda\,\hat{b}^{\dagger},$ wo

λ

$\lambda$ ist eine reelle Zahl. Diese Transformation ist genau dann unitär, wenn es einen unitären Operator gibt

U

$U$ so dass

{\hat{a}}^{'} = U \hat{a} U^{- 1}, {\hat{b}}^{' †} = U {\hat{b}}^{†} U^{- 1} .

$\hat{a}^{\prime} = U \hat{a} U^{-1},\\ \hat{b}^{\prime\,\dagger} = U \hat{b}^{\dagger} U^{-1}.$ Tatsächlich sind diese Beziehungen mit der folgenden Wahl erfüllt:

U = \exp [λ (\hat{a} \hat{b} - {\hat{b}}^{†} {\hat{a}}^{†})],

$U = \exp\Big[\lambda(\hat{a}\hat{b} - \hat{b}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger})\Big],$ die Transformation ist also unitär.

Hallo higgsss, ich frage mich, wie diese einheitliche Transformation abgeleitet wird. Gibt es dafür ein allgemeines Herleitungsverfahren?
Ich bin auch daran interessiert zu wissen, wie man den Einheitsoperator aus der Transformation ableitet. Es wäre nett, wenn Sie mir einige Hinweise in diese Richtung geben könnten.

Lawrence B. Crowell · Answer 3

Lassen Sie mich an diesem Teil der Matrixgleichung arbeiten

H = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & b_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ b_{k}^{†} \end{matrix}) = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix})

$H=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}}^\dagger & b_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}} \\ b_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}$ Der wichtige Teil ist, dass die Transformation der Felder sowie eine Transformation der Matrix zu sehen ist

Γ = (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{k} & v_{k} \\ v_{k} & u_{k} \end{matrix}) = M^{†} Γ M,

$\Gamma~=~\begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix}~\rightarrow~\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix}~=~M^\dagger\Gamma M,$ wo

M^{†} = M

$M^\dagger~=~M$ . Ausschlaggebend dafür ist

d e t (M Γ M) = d e t (M) d e t (Γ) d e t (M)

$det(M\Gamma M)~=~det(M)det(\Gamma)det(M)$

= d e t (Γ)

$=~det(\Gamma)$ Die Determinante von

M

$M$ dann gibt

u_{k}^{2} - v_{k}^{2} = 1

$u_k^2~-~v_k^2~=~1$ . Diese können dann dargestellt werden durch

u_{k} = s i n h (k)

$u_k~=~sinh(k)$ und

v_{k} = c o s h (k)

$v_k~=~cosh(k)$ .

Bewerten Sie nun den Kommutator $[a_k,~a^\dagger_k]$

[a_{k}, a_{k}^{†}] = u_{k}^{2} [a_{k}, a_{k}^{†}] + v_{k}^{2} [β_{k}^{†}, β_{k}] = u_{k}^{2} [a_{k}, a_{k}^{†}] - v_{k}^{2} [β_{k}, β_{k}^{†}] .

$[a_k,~a^\dagger_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~+~v_k^2[\beta^\dagger_k,~\beta_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~-~v_k^2[\beta_k,~\beta^\dagger_k].$ Für die Kommutatoren

[α_{k}, α_{k}^{†}] = [β_{k}, β_{k}^{†}] = 1

$[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~=~[\beta_k,~\beta_k^\dagger]~=~1$ und wir sehen dann

[a_{k}, a_{k}^{†}] = 1

$[a_k,~a_k^\dagger]~=~1$ . Dasselbe gilt eindeutig

[b_{k}, b_{k}^{†}] = 1

$[b_k,~b_k^\dagger]~=~1$ Dies bedeutet, dass jedes System mit

N ℏ

$N\hbar$ Einheiten der Aktion ist konstant. Das Phasenraumvolumen des Systems ändert sich nicht. dies bedeutet dann, dass Bogoliubov-Transformationen effektiv einheitlich sind.

Die Definition der allgemeinen unitären Transformationen ist also länger $U^{\dagger}=U^{-1}$ die wir aus dem Lehrbuch lernen? Ich verstehe nicht 'Das bedeutet, dass jedes System mit Nℏ Wirkungseinheiten konstant ist. Es gibt keine Änderung im Phasenraumvolumen des Systems', möchten Sie es erklären?
Übrigens, gibt es eine Einschränkung für die Transformation des Bosonensystems (Hamiltonian)?
@ZJX Ich verstehe nicht, warum Lawrence sagte, die bosonischen Bogoliubov-Transformationen seien "effektiv einheitlich". Ich denke, sie sollten im Allgemeinen symplektisch sein. Die Einschränkung ergibt sich aus der Beibehaltung der Definition der bosonischen Operatoren (so dass bosonische Operatoren unter der Transformation bosonisch bleiben). Es gibt keine Einschränkung, die vom bosonischen System (Hamiltonian) ausgeht. Solange der Hamiltonoperator hermitesch ist, ist er ein legitimer Hamiltonoperator. Jede auf den Hamilton-Operator angewendete symplektische Transformation ist eine legitime Bogoliubov-Transformation.

RoderickLee · Answer 4

Nein, es ist eine einheitliche Transformation, aber nur, wenn Sie das Elektron und das Loch des Hamilton-Operators zusammen betrachten.

Aber hier dreht sich das Modell um Spin, es geht nicht um das Fermion, richtig?

Die Bogoliubov-Transformation ist keine einheitliche Transformation, richtig?

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