Die Störungstheorie geht davon aus, dass wir für einige Parameter, dh Kopplungskonstanten, eine gültige Familie von Modellen über einen kontinuierlichen (tatsächlich unendlich differenzierbaren) Bereich haben. Wir haben einige spezielle Werte für die Kopplungskonstanten, die das ungestörte Modell charakterisieren, was vermutlich relativ einfach zu lösen ist. Wir nehmen auch an, dass sich die Modellfamilie glatt unter den Kopplungskonstanten transformiert. Dann führen wir eine Taylor-Reihenanalyse durch.
Was aber, wenn die Landschaft gültiger Quantengravitationsmodelle diskret ist? Auch wenn die Superstring-Theorie einen Dilatonenmodul über 10 unverdichtete Dimensionen zulässt, was ist mit der Modelllandschaft, die wir erhalten, nachdem wir 6 räumliche Dimensionen mit Flüssen ungleich Null und einigen Branes und vielleicht etwas Orbifolding verdichtet haben? Wir haben immer noch Module, wenn die Supersymmetrie ungebrochen bleibt, aber was ist mit den metastabilen Zuständen, wo SUSY gebrochen ist? Was ist die Taylor-Reihe einer Dirac-Delta-Funktion?
Was ist mit der Störungstheorie aus der Perspektive von Pfadintegralen? Bei Pfadintegralen zeigt sich die Wheeler-DeWitt-Beschränkung in anderer Form als Projektionsoperator. Wir beginnen mit einigen Wellenfunktionen und nehmen dann das funktionale Integral über ein endliches Zeitintervall T. In der Grenze, in der T gegen unendlich geht, bleibt uns ein Projektionsoperator, der WDW-Lösungen herausgreift. Aber was passiert, wenn wir die Reihenfolge vertauschen, in der wir den Grenzwert der Kopplungskonstante gegen Null und T gegen unendlich nehmen? Wenn das Spektrum der Hamilton-Beschränkung diskret ist und mit der Kopplungskonstante variiert, ist ein solcher Austausch nicht gültig! Dies ist eine schicke Art zu sagen, dass der Projektionsoperator für die meisten Auswahlmöglichkeiten von Kopplungskonstanten Null ist.
Die Störungsexpansion der Allgemeinen Relativitätstheorie bricht auf der Ebene der zwei Schleifen: Man erzeugt einen Term in der effektiven Wirkung, der im Weyl-Tensor kubisch ist, wie Goroff und Sagnotti gezeigt haben, der einen UV-divergenten Koeffizienten hat und der sein muss durch Gegenklausel aufgehoben. Dies führt auch eine neue unbekannte endliche Kopplung zur "nicht länger Einstein-Hilbert-Aktion" ein. Dadurch erhält man letztendlich eine unendliche Anzahl unbekannter Kopplungen und verliert die Vorhersagekraft.
Wir sagen, dass die allgemeine Relativitätstheorie perturbativ nicht renormierbar ist.
Dies zeigt, dass es eine neue Physik geben muss, die alle unbekannten Parameter der Niedrigenergiephysik bestimmt (und typischerweise auch qualitativ neue Phänomene bei hohen Energien hinzufügt). Das Spektrum der Möglichkeiten ist durch die "Landschaft" der String/M-Theorie gegeben. Alle Versionen des Minkowski- oder Anti-de-Sitter- oder de-Sitter-Raums spannen ein kompliziertes Set mit vielen Komponenten auf. Einige dieser Komponenten sind diskret; wir nennen sie die stabilisierte Vakua. Einige von ihnen haben Restparameter – die Moduli – und diese sind mathematisch sehr interessant (und sie sind normalerweise berechenbar und haben oft eine ununterbrochene Supersymmetrie), aber sie sind phänomenologisch inakzeptabel.
Nur die stabilisierten Vakuen sind realistische Kandidaten für eine Theorie der realen Welt. Die unstabilisierten verletzen das Äquivalenzprinzip, lassen die Feinstrukturkonstante und ähnliche Konstanten variieren und führen zu neuen, unbeobachteten Fernkräften.
Um jedes Vakuum herum gilt jedoch immer noch, dass die Amplituden in jeder Kopplungskonstante, die zufällig schwach ist, taylor-expandiert werden können. Die Tatsache, dass nur ein Wert einer Kopplungskonstante – oder eines Skalarfeldes, wenn wir im Gravitationskontext sind – der richtige ist, wird als Existenz eines Potentials für dieses Skalarfeld angesehen. Wenn wir uns vom Minimum (oder Extremum) dieses Potentials entfernen, wird es Einpunktfunktionen ungleich Null für dieses Skalarfeld geben, die das Universum zurück zum Minimum treiben.
Wenn die Berechnung richtig durchgeführt wird, sind die Streuamplituden "fast überall" analytische Funktionen der Energie-Impuls-Vektoren. Diese Tatsache wird durch die Lokalität (oder sogar annähernde Lokalität) der physikalischen Phänomene in der Raumzeit garantiert. Also kann es hier keine Delta-Funktionen geben - außer denen, die die Erhaltungssätze auferlegen.
Es stimmt also, dass die Minkowski- oder Anti-de-Sitter-ähnlichen "Leerraum"-Lösungen nur für die richtigen Werte der Kopplungen existieren, die das Potenzial minimieren; das physikalische Spektrum der "leeren Raum"-Zustände verschwindet strikt weg vom richtigen stabilisierten Wert der Moduli. Aber diese Tatsache sollte nicht als Diskontinuität in der zugrunde liegenden Mathematik angesehen werden. Stattdessen sollte man sich vorstellen, dass es für falsche Werte der Kopplungskonstanten „analoge“ Lösungen gibt, die kein „leerer Raum“ sind. Stattdessen oszillieren bei diesen Lösungen die Skalarfelder um ihren bevorzugten Wert, für den das Potential minimiert wird.
Die Zustände "verschwinden nicht", wenn Sie zu falschen Werten der Kopplungskonstante wechseln. Stattdessen sind sie einfach nicht translationssymmetrisch in der Zeit. In diesem Sinne gibt es keine Diskontinuität und die Berechnungen physikalischer Amplituden und anderer Observablen beinhalten niemals Delta-Funktionen der Skalarfelder.
Viel allgemeiner ist es aber natürlich denkbar, dass die Störausdehnungen aus vielen bekannten und unbekannten Gründen zusammenbrechen. Es ist seit langem bekannt, dass die Störungsausdehnungen letztendlich auseinanderlaufen; und sie erfassen sowieso nicht alle physikalischen Phänomene. Wenn wir die Terme bis zum Minimalterm (bevor sie wieder zu explodieren beginnen) in einer divergenten Entwicklung in einer Kopplungskonstante zusammenfassen, ist der Minimalterm – eine Unsicherheit der Summe – von der gleichen Größenordnung wie die ersten nicht störenden Beiträge zu den Amplituden (verschiedene Instantonen). Aber Versuche, "die perturbativen Expansionen richtiger wieder aufzunehmen", sind nicht die einzigen Methoden, um sich der nicht-perturbativen Physik zu nähern.
Wenn andererseits eine Störungsexpansion selbst für einen sehr kleinen Wert der Kopplungskonstante "qualitativ" versagen würde, würde dies wahrscheinlich beweisen, dass die Theorie inkonsistent ist. Das sollte nicht passieren. Selbst wenn es in einer hypothetischen Theorie passiert wäre, müsste man sich überlegen, wie diese Theorie zumindest im Prinzip etwas zu berechnen erlaubt – ohne das sollte man gar nicht von einer Theorie sprechen.
Die Störungstheorie für QG bricht genauso zusammen wie für jede andere QFT: Man erhält unendliche Störungskorrekturen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die UV-Unendlichkeiten in QG nicht "konsistent" verworfen werden können. Sie sagen, die QG sei "nicht renormalisierbar". Das heißt, es ist zunächst nicht normal und nach "Reparationen" (Renormalisierungen) nicht normal.
Es gibt ein einfaches Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Theorie physikalisch und mathematisch vernünftig ist. Dieses Kriterium ist nicht sehr beliebt, aber es offenbart eine falsche Theorie in der ersten Born-Näherung, dh noch bevor Unendlichkeiten auftreten. Dieses Kriterium ist das folgende: Wenn die erste Born-Näherung die Prozesse nicht erfassen kann, deren Wahrscheinlichkeit Eins ist (weiche Strahlung), dann erhalten Sie eine Explosion von Störungskorrekturen. Wenn man die Prozesse übersieht, die immer passieren, macht man etwas ziemlich falsch, und kein Wunder, dass die störungstheoretischen Korrekturen versuchen werden, diesen schlechten Start "heftig zu korrigieren": Die anfängliche Annäherung der Störungstheorie ist zu weit von der exakten Lösung entfernt und erfordert unendliche Korrekturen und a ihre nichtlineare Summierung, um ein endliches Ergebnis zu erhalten.
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anna v