Was ist der entscheidende Punkt, um zu argumentieren, dass die reine Schwerkraft nicht aus zwei Schleifen renormalisiert werden kann?

Es gibt keinen entscheidenden Punkt, nur langwierige Berechnungen. Es ist lediglich ein Zufall. Eine Theorie kann entweder renormierbar oder nicht renormierbar sein; und beide Szenarien sind prinzipiell denkbar. Potenzzählende Renormierbarkeit bietet normalerweise einen starken Hinweis darauf, ob die Theorie renormierbar ist oder nicht, aber dies ist kein unfehlbarer Test ¹ .

Die Quantengravitation ist nicht leistungszählend renormierbar, daher sollten Sie im Prinzip vermuten, dass die Theorie nicht renormierbar ist. Aber es kann durchaus sein, dass eine wundersame Aufhebung von Divergenzen zur Rettung kommt und die Theorie doch renormierbar macht. Tatsächlich könnte die Theorie eine verborgene Symmetrie enthalten, die die möglichen Abweichungen kontrolliert. Die Tatsache, dass sich die ersten Schleifenordnungen als endlich herausstellen, ist kein Beweis dafür, dass sie für jede Ordnung endlich sind. Sie beweisen entweder, dass dies der Fall ist (was eine sehr nicht triviale Aufgabe ist), oder beweisen, dass dies nicht der Fall ist (indem Sie ein explizites Gegenbeispiel finden).

Bei QG ist die erste Ordnung endlich. Es gibt andere Beispiele für Theorien, die endlich sind, aber nicht für höhere Ordnungen (z. B. naive massive Yang-Mühlen, vgl. diesen PSE-Beitrag ). Man muss die Ein-Schleifen-Endlichkeit nicht wirklich erklären: Sie passiert einfach manchmal, ohne tieferen Grund dahinter. Es stellt sich heraus, dass man dieses Phänomen in QG teilweise durch die metrische Unabhängigkeit der Euler-Poincaré-Charakteristik erklären kann. Zitat von DeWitt,

Aufgrund der metrischen Unabhängigkeit der Euler-Poincaré-Charakteristik ^[2] können quadratische Terme im vollständigen Riemann-Tensor im Gegenterm, der zum Aufheben des Polterms [in der effektiven Aktion mit einer Schleife] benötigt wird, durch quadratische Terme im ersetzt werden Ricci-Tensor und im Krümmungsskalar. Der so modifizierte Gegenbegriff hat die Form

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta S&=\frac{1}{16\pi^2}\frac{1}{d-4}\int g^{1/2}\left(-\frac{429}{36}R^2+\frac{187}{90}R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}\right)\mathrm d^4x\\ &=\int\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}A_{\mu\nu}\ \mathrm d^4x \end{aligned}\tag{35.170} \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} A_{\mu\nu}=-\frac{1}{16\pi^2\mu^2}\frac{1}{d-4}\left(\frac{187}{180}R_{\mu\nu}+\frac{979}{180}g_{\mu\nu}R\right) \end{equation}$$

Gleichung$(35.170)$hat genau die form$(25.90)$. Wie in Kapitel 25 erläutert, ist das Vorhandensein oder Fehlen des Gegenbegriffs daher bei der Berechnung von irrelevant$S$-Matrix, und die reine Quantengravitation ist eine endliche Schleife. Dies ist ein Zufall, der sich aus der Existenz der Euler-Poincaré-Charakteristik ergibt und in höheren Ordnungen nicht auftritt.

(Hervorhebung von mir)

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Der Vollständigkeit halber skizzieren wir den Beweis der Einschleifen-Endlichkeit der Vakuum-Quantengravitation. Wir folgen hauptsächlich 0550-3213(86)90193-8 (§3.1). Eine einfache Power-Counting-Analyse zeigt, dass für eine Schleife der allgemeinste Gegenbegriff lautet

$$\Delta S^{(1)}=\int g^{1/2}(c_1R^2+c_2R^{ab}R_{ab}+c_3R^{abcd}R_{abcd})\ \mathrm d^4x$$ für einige (formal abweichende) Konstanten $c_{1,2,3}$. Die ersten beiden Terme verschwinden auf der Schale (im Vakuum), der dritte im Prinzip nicht. Aber unter Verwendung der Tatsache, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik topologisch ist (dh ihr Integrand ist eine totale Ableitung), können wir schreiben $c_3$Laufzeit als Funktion von $R^2$Und $R^{ab}R_{ab}$. Das wiederum bedeutet das $$\Delta S^{(1)}\overset{\mathrm{O.S.}}=\int g^{1/2}(\text{total derivative})\ \mathrm d^4x$$ was die Ein-Schleifen-Endlichkeit der Quantengravitation beweist (denken Sie daran, dass topologische Terme für die Störungstheorie unsichtbar sind). Es ist klar, dass dieses Argument in Gegenwart von Materie versagt, weil die Felder auf der Schale nicht befriedigen $R^{ab}=0$mehr, und deshalb $\Delta S^{(1)}$ist keine totale Ableitung mehr.

Im Fall von zwei oder mehr Schleifen ist die Anzahl der verfügbaren Invarianten, die aus der Metrik konstruiert werden können und die als Gegenterme auftreten können, höher als im Fall einer Schleife. Die meisten dieser Invarianten hängen ab$R^{abcd}$statt$R^{ab}$, und daher verschwinden sie nicht auf der Schale. Tatsächlich haben wir

$$\Delta S^{(2)}\overset{\mathrm{O.S.}}=c_4\int g^{1/2}R^{ab}{}_{cd}R^{cd}{}_{ef}R^{ef}{}_{ab}\ \mathrm d^4x$$ für einige konstant $c_4$. Hier gibt es keine Identität, die diese Kombination mit einem topologischen Begriff in Beziehung setzt und daher, es sei denn, es gibt eine zufällige Aufhebung von Divergenzen, die dazu führt $c_4=0$, ist nicht zu erwarten, dass der Gegenbegriff Lagrangeian mit zwei Schleifen auf der Schale verschwindet. Die explizite Berechnung beweist, dass es keine solche Auslöschung gibt und die Quantengravitation daher keine Endlichkeit mit zwei Schleifen ist.

Um es noch einmal zu wiederholen, es könnte der Fall gewesen sein, dass die Quantengravitation doch renormierbar ist. Die Ein-Schleifen-Endlichkeit kann durch einfache Leistungszählargumente festgestellt werden, aber für höhere Schleifen kann keine solche Schlussfolgerung gezogen werden. Somit bleibt uns nur die mühsame Berechnung. Sobald wir dies tun, stellen wir fest, dass die Quantengravitation nicht endlich ist. Nun ja.

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^{1: Nehmen Sie Ihre bevorzugte renormierbare Theorie und führen Sie eine nichtlineare Feldredefinition durch; Die daraus resultierende Theorie hat neue Terme, die nicht renormierbar sind, sondern die Potenz zählen$S$Matrix bleibt gleich (sie ist endlich).}

^{2: Die Euler-Poincaré-Charakteristik in vier Dimensionen lautet}

$$\chi_4=\frac{1}{32\pi^2}\int g^{1/2}(R_{abcd}R^{abcd}-4R_{ab}R^{ab}+R^2)\ \mathrm d^4x$$