Das ist kein Mond! Es ist eine Raumstation! Wie groß kann ein Raumschiff sein, bevor es in sich zusammenfällt?

Die Definitionsgleichung des hydrostatischen Gleichgewichts – der Zustand, in dem sich ein Himmelskörper befinden muss, um den Anschein einer Kugelform beizubehalten – ist

$$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}$$ wo $P$ist Druck, $r$ist Radius, $M$ist Masse, $\rho$ist Dichte, und $G$ist die universelle Gravitationskonstante. Unter der Annahme einer konstanten Dichte hier - was eigentlich ein Problem ist, weil es Lücken gibt - sagen wir das $$\frac{d\rho}{dr}=0$$ und nach einer schnellen Ableitung (siehe hier für ein Beispiel) finden wir $$P(r)=\frac{2\pi G\rho^2}{3}\left(R^2-r^2\right)$$ wo $R$ist der Radius des Körpers. Bei $r=0$, wir haben $$P(0)=\frac{2\pi GR^2\rho^2}{3}$$ Angesichts dessen $$\frac{dP}{dr}<0$$ es ist klar, dass $P$liegt maximal bei $r=0$. Neuordnung, wir haben $$R=\frac{1}{\rho}\sqrt{\frac{3P(0)}{2\pi G}}$$ Zum $R$maximiert werden soll, wollen wir das Verhältnis $\frac{\sqrt{P(0)}}{\rho}$maximiert werden. Wir können das sagen $P(0)$ist die ultimative Druckfestigkeit eines Materials.

Werfen wir einen Blick auf die Stärken verschiedener Materialien . Das Metall mit dem höchsten Verhältnis ist vorgespannter Stahl, at

$$R=\frac{\sqrt{3,757,000,000}}{{1440}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2\pi G}}=3,600\text{ kilometers}$$ Das klingt ziemlich gut für mich.

In einer etwas anderen Richtung als HDE226868 werde ich mein Schiff so gestalten, dass es eine möglichst große Kugel ist. Dazu platziere ich den gesamten Wohnraum auf der Außenfläche einer großen hohlen Stahlkugel voller Vakuum.

Ich werde massemäßig viel mehr Stahlkugeln pro Quadratmeter haben als Wohnräume auf der Außenseite, also lautet meine Frage im Wesentlichen: Wie groß kann ich eine hohle Stahlkugel machen, bevor sie zerquetscht wird? seine eigene Schwerkraft? Jetzt ist es Zeit für Gleichungen.

Schwere

$g = GM_{sphere}/r^2$

Wo$g$ist Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft,$G$ist die Gravitationskonstante,$M_{sphere}$ist die Masse der Kugel, und$r$ist der Radius der Kugel.

Masse der Kugel

$M_{sphere}=4\rho\pi r^2t$

Wo$t$ist die Dicke der Kugel und$\rho$ist die Dichte von Stahl.

Druck auf die Kugel

$p = g\rho t$

Dies ist eine konservative Schätzung, da nur der äußerste Teil der Kugel tatsächlich das volle Gewicht ihrer Schwerkraft zu spüren bekommt. Der eigentliche Druck besteht darin, ein einfaches Integral zu lösen, auf das ich im Moment keine Lust habe.

Betonen

$\sigma = pr/2t$

Dies ist die Spannungsgleichung in einem dünnwandigen Druckbehälter.

Schlussgleichung

Wenn wir das alles zusammenfassen, erhalten wir:

$\sigma = 4\pi G{\rho}^2r^3t^2/r^2t$

Oder, vereinfacht und gelöst für$r$,

$r = \frac{\sigma}{4\pi t G{\rho}^2}$

Einsteckwerte für die Dichte von Stahl (8000$kg/m^3$), die Bruchspannung von Stahl (3.757.000.000) und G ($6.67408 \times 10^{-11}$) erhalten wir eine maximale Gesamtgröße von etwa 70.030.000 km bei einer Dicke von 1 m. Der Radius unseres Schiffs ist umgekehrt proportional zu seiner Dicke, also können wir es vergrößern, wenn wir es dünner machen.

Natürlich wird unser riesiges Sphärenschiff nur im Weltraum herumlungern können. Gezeitenkräfte (Unterschiede in der Schwerkraft zwischen einer Seite des Schiffes und der anderen) würden es zerstören, wenn es sich einem großen Körper wie einem Planeten oder einem Stern nähert.

Auch wenn sie nicht solide sind, passt das Konzept einer Dyson-Sphäre in Ihre Frage?

http://www.technologyreview.com/view/536171/physicists-describe-new-class-of-dyson-sphere/

Ahh, sehe die Antwort ...

Es scheint, dass die meisten Superstruktur-Megaschiffe theoretisch nicht nur mit ihrer eigenen Schwerkraft der Struktur fertig werden müssen, sondern auch damit, sie für die Bewohner zu schaffen. Ich konnte über 900 km sehen, abhängig von den Lösungen der internen und strukturellen Belastungen. Die Kugel kommt natürlich als zusammengebrochene und fast ruhende Struktur in den Sinn. Eine Möglichkeit, mit den Schwerkraftbelastungen umzugehen, besteht darin, offene Raumtaschen zu schaffen, die die allgemeine Schwerkraftbelastung im Wesentlichen verringern würden, da sie durch den offenen Raum verringert wird.

Ich glaube, es gab Diskussionen über diese Konzepte auf http://hieroglyph.asu.edu/ , aber ich kann es im Moment nicht durchsuchen.