Das Lieb-Schultz-Mattis-Theorem der Heisenberg-Spin-Kette

Kürzlich lese ich etwas Material zum Satz von Lieb-Schultz-Mattis (LSM) und verstehe den Beweis des Satzes von LSM nicht. Der Beweis stammt aus der Arbeit von Ian Affleck . Beginnen wir mit dem Spin-1/2-Heisenberg-Hamilton-Operator:

H = ∑ ich S → ich ⋅ S → ich + 1
Wir wollen beweisen, dass es eine Anregung von niedriger Energie gibt Ö ( 1 / L ) , Wo L ist die Größe der Periodenkette, die gerade ist. Wir können davon ausgehen, dass der Grundzustand | ψ 0 ⟩ ist einzigartig. Um zu beweisen, dass es eine Anregung mit niedriger Energie gibt, müssen wir einen angeregten Zustand konstruieren | ψ 1 ⟩ so dass ⟨ ψ 1 | H − E 0 | ψ 1 ⟩ = Ö ( 1 / L ) . Wir konstruieren das | ψ 1 ⟩ durch Anwenden einer einheitlichen Transformation auf den Grundzustand | ψ 0 ⟩ .
| ψ 1 ⟩ = U | ψ 0 ⟩     ,     U = exp ⁡ ( ich 2 π L ∑ N N S N z )

Meine Fragen sind, warum wir eine einheitliche Transformation anwenden müssen, um den angeregten Zustand zu konstruieren | ψ 1 ⟩ und warum die einheitliche Transformation U hat diese Form ( ∑ N N S N z anstatt ∑ N S N z )? Ich freue mich über jeden Kommentar.

Antworten (1)

Wir wollen den Erwartungswert berechnen ⟨ H − E ⟩ auf den angeregten Zustand, den wir konstruieren. Dies wird viel einfacher, wenn der Zustand, den wir konstruieren, korrekt normalisiert ist. Wir könnten den Zustand explizit normalisieren, aber die Berechnung der Normalisierungskonstante für Vielteilchenzustände kann schmerzhaft sein. Die Anwendung eines einheitlichen Operators auf einen bereits normalisierten Zustand ergibt garantiert einen weiteren normalisierten Zustand. Es würde ausreichen, wenn der Operator uns einen normalisierten Zustand gibt, wenn er auf den Grundzustand angewendet wird (denn das ist es, was wir damit machen werden), aber der einfachste Weg, dies zu erreichen, besteht oft darin, einfach sicherzustellen, dass der Operator immer erhält Normalisierung.

Für den Faktor von N , nun, wenn wir an den ferromagnetischen Fall denken, wissen wir, dass die Anregungen mit niedriger Energie Spinwellen sind. Der antiferromagnetische Fall ist aufgrund der Struktur des Grundzustands schwieriger vorzustellen, aber wir würden wieder eine Art wellenförmiges Muster über dem Grundzustand erwarten. Eine wellenartige Struktur wird die Form haben e ich ω N . Um unseren einheitlichen Operator zu konstruieren, fördern wir ω an einen Betreiber (mit der kleinsten Frequenz, die die Größe des Systems zulässt, da wir davon ausgehen, dass dies die niedrigste Energie ist). Der Faktor von N spielt die gleiche Rolle, indem es die Phase der Welle erhöht, wenn Sie sich durch das System bewegen.

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