Das "ππ\pi" einer rotierenden Scheibe verstehen

Nehmen wir an, Sie befinden sich in einem Trägheitsbezugssystem mit einer kreisförmigen ebenen Scheibe. Wenn Sie Ihre Metermaßstäbe (oder vielleicht ein Maßband) nehmen, können Sie den Durchmesser und den Umfang der Scheibe finden.

Dann lassen sich sicher die Abstandsverhältnisse zwischen Bestandteilen des Scheibenrandes bestimmen;
und ein Mittelpunkt der Scheibe kann identifiziert werden (auch in Form von Abstandsverhältnissen, die Bestandteile der Scheibenkante beinhalten).

Wenn Sie den Umfang durch den Durchmesser teilen, erhalten Sie genau$\pi$.

Natürlich die Nummer$\pi$ist entsprechend (durch polygonale Näherung) überhaupt erst definiert.

Jetzt beginnen Sie, die Scheibe zu drehen.

Folglich im Idealfall: Die Bestandteile der Scheibe bewegen sich nun auf Kreisen (in Bezug auf das gegebene Trägheitsbezugssystem um einen gemeinsamen Mittelpunkt) mit konstanter Dauer$T$der Rotationsperiode (gemessen durch Mitglieder des gegebenen Trägheitsbezugssystems). Die Bestandteile des Scheibenrandes bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis gleichen Durchmessers$2 R$wie früher von der Scheibe festgestellt worden war, während sie in Ruhe war.

Die Scheibenbestandteile (einschließlich des Rotationszentrums) sind daher nicht mehr in Ruhe zueinander; sie bleiben (lediglich) starr zueinander , im chronometrischen Sinne, dass zwei beliebige Scheibenbestandteile$A$und$B$weiterhin konstante Verhältnisse der Ping-Dauern untereinander messen,

$$\tau_{ABA} / \tau_{BAB} = \text{constant}.$$

Die Werte dieser Verhältnisse unterscheiden sich im Allgemeinen von$1$, und voneinander verschieden. Insbesondere für das Rotationszentrum$C$, und jeder Bestandteil am Rand der Scheibe,$E$, das Verhältnis der gegenseitigen Ping-Dauern ist

$$\tau_{ECE} / \tau_{CEC} = \sqrt{ 1 - \beta_E^2 } = \sqrt{ 1 - \left( \frac{2~\pi~R}{c~T} \right)^2 }.$$

Ferner das Verhältnis der Ping-Dauern$\tau_{EAE} / \tau_{ECE}$erreicht seinen Maximalwert, wenn die Scheibe Bestandteil ist$A$ist auf dem Scheibenrand sich antipodal zu bewegen$E$; und der entsprechende Maximalwert kleiner als 2 ist . In der Tat

$$\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] \approx 2 - \beta_E^2 + \frac{13}{12} \beta_E^4 - \frac{541}{360} \beta_E^6 + ...$$

Um nun die polygonale Approximation von anzupassen$\pi$Zu diesen gegenseitig starren Scheibenbestandteilen und insbesondere zu denen, die den Scheibenrand bilden, können wir eine große Anzahl betrachten ($N$) von ihnen (als "Marken") gleichmäßig am Plattenrand verteilt, dh so, dass die Ping-Dauern zwischen benachbarten Marken gleich sind.

Lassen$E$und$F$zwei solcher benachbarter Markierungen auf dem Scheibenrand sein. Dann können wir (zum Beispiel) die Zahl betrachten

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE}.$$

Die Nummer$\tau_{ECE} / \tau_{EFE}$stellt auch die Anzahl der erhaltenen Zählungen dar$E$von aufeinanderfolgenden Pings (Signalrundreisen) zu$F$und zurück während nur einem Ping zum Rotationszentrum$C$und zurück.

Um dieses Verhältnis zu bewerten, für gegebene Zahlen$N$und$\beta_E$, können wir die Zahl separat betrachten$\#EFE_T$von aufeinanderfolgenden Pings von$E$zu$F$und zurück welche$E$zählt im Laufe einer vollen Umdrehung um die Mitte$C$. Natürlich kann diese Zahl auch eindeutig durch Größen bestimmt werden, die vollständig von Mitgliedern des gegebenen Inertialsystems (die an den Markierungen am Scheibenrand vorbeigekommen sind) gemessen wurden. Nämlich Einstellung

$$x := 2~\pi~R / N,$$

$$x + t_{EF} ~c ~\beta = c~t_{EF}; \, \, \, \, \, t_{EF} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 - \beta},$$

$$x = t_{FE} ~c ~\beta + c~t_{FE}; \, \, \, \, \, t_{FE} = \frac{x}{c} \frac{1}{1 + \beta},$$

$$t_{EFE} = t_{EF} + t_{FE} = \frac{2~x}{c} \frac{1}{1 - \beta^2},$$ und

$$\#EFE_T = T / t_{EFE} = \frac{2~\pi~R}{c~\beta}~c~\frac{1 - \beta^2}{2~x} = N~\frac{1 - \beta^2}{2~\beta}.$$

Der andere relevante Wert,$\#ECE_T$, die$E$direkt durch Zählen erhalten kann (und aus Sicht des Inertialsystems ebenfalls eindeutig ausgewertet werden kann) ist das Verhältnis zwischen einer (großen) Anzahl aufeinanderfolgender Pings zu$C$und zurück und die entsprechende (auch große) Anzahl aufeinanderfolgender voller Umdrehungen. Offensichtlich erhält man:

$$\#ECE_T = \frac{2~\pi~R}{c~\beta} / \frac{2~R}{c} = \frac{\pi}{\beta}.$$

Setzt man diese beiden Werte in die Berechnung von ein$2~\pi^C_{\beta}$:

$$2~\pi^C_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} = N ~ \frac{\#ECE_T}{\#EFE_T} = N ~ \frac{\pi}{\beta} \times \frac{1}{N}~\frac{2~\beta}{1 - \beta^2} = \frac{2~\pi}{1 - \beta^2} \gt 2~\pi.$$

Vergleich stattdessen mit dem "antipodalen Maximum":

$$\pi^A_{\beta} := N ~ \tau_{EFE} / \tau_{ECE} \times 1 / \text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ] = \frac{2~\pi^C_{\beta}}{\text{Max}[ \tau_{EAE} / \tau_{ECE} ]} \gt \pi^C_{\beta} \gt \pi.$$

Für diese beiden Fälle daher (mit der in der Frage verwendeten Notation):

$$\pi_o > \pi.$$