Definition für das Setzen der Integrationskonstante gleich Null.

Gute Frage! " Die Integrationskonstante auf Null setzen" ist nur in einem Kontext sinnvoll, in dem eine bestimmte Stammfunktion angegeben wurde und wir keine additive Konstante daran anhängen möchten.

Ein weiteres Beispiel zur Ergänzung Ihres: obwohl$-\arccos x\ne \arcsin x,$

$$-\arccos x+C_1=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_2.$$

Mathematisch gibt es keinen Unterschied - die Menge der Ausdrücke$\{x^2+C:C \in \mathbb{R}\}$ist die gleiche Menge wie die Menge$\{x^2+\pi+C:C \in \mathbb{R}\}$.

Der einzige Unterschied besteht darin, dass einer davon einfacher zu lesen ist. Geschriebene Mathematik ist eine Form der Kommunikation, und Sie möchten sich dem Leser gegenüber klar ausdrücken. Dies wird nicht einfach dadurch erreicht, dass Aussagen gemacht werden, die mit akzeptierten Tatsachen und Verfahren beginnen und logisch zu einer Schlussfolgerung führen. Sie müssen auch den Aufwand minimieren, den der Leser investiert, um Ihre Arbeit zu verstehen. Dies ist ähnlich wie Sie Ihre Antwort schreiben als$x^2+C,C \in \mathbb{R}$anstatt$x^2+y:y \in \mathbb{R}$: Es ist mathematisch in Ordnung, aber es weicht von der Konvention ab, und es wird Ihren Leser mit einer Frage zurücklassen: "Warum haben Sie das so gesagt?", was bedeutet, dass er nicht sicher ist, dass er versteht, was Sie versuchen zu tun.

Wenn du sagst$x^2+\pi+C$, der Leser wird sich fragen, wo die$\pi$kommt und warum es wichtig ist. Vielleicht ist es aus einem guten Grund da (zB wenn$x^2+\pi$woanders wichtig war), und in dieser Situation sollten Sie Ihre Antwort wohl so belassen$x^2+\pi+C$anstatt$x^2+C$(Ich würde es wahrscheinlich immer noch nicht tun, wenn ich für andere Forscher schreiben würde, aber ich könnte es tun, wenn ich für spätere Highschool-Schüler schreiben würde). Aber das bedeutet, wenn Sie Ihre Antwort so belassen$x^2+\pi+C$, der Leser wird die erwarten$+\pi$später wichtig sein.

In der rigorosen Behandlung der Integration gibt es kein Symbol$\int f(x)dx$die den Freiheitsgrad in der suggerieren$+C$, aber die Idee, die immer noch besteht. Es gibt nur eine integrierbare Funktion$f:[a,b]\to\mathbb{R}$über ein Intervall integriert werden$\int_a^b f$. Beachten Sie, dass die Dummy-Variable nicht benötigt wird$x,t$und die "Integrationsvariable"$dx,dt$.

Gegeben sei eine stetige (daher integrierbare) Funktion$f:[a,b]\to \mathbb{R}$, können wir das unbestimmte Integral definieren$F$von$f$von

$$F(x):=\int _a^x f,$$ und dieses Ding hat die Eigenschaft that$F'=f$, dh$F$ist die Stammfunktion von$f$. Irgendein Antiderivativ$G$von$f$befriedigen muss$(G-F)'=G'-F'=f-f=0$, So$G$Und$F$sich durch eine Konstante unterscheiden, schreiben$G=F+C$. Hier sehen wir das, wenn wir eine bestimmte Stammfunktion fixieren$F$wie so zu definieren, dann die$+C$ist eine feste Nummer (abhängig von Ihrer$G$), keine willkürliche Konstante.

Ich hoffe, diese Art zu setzen$+C$ist klar.

Wie Sie darauf hingewiesen haben und wie andere Antworten darauf hingewiesen haben, können Sie Ihre Integrationskonstante beliebig neu definieren. „Die Konstante gleich Null setzen“ hat also a priori keine formale Bedeutung.

Angenommen, Sie möchten integrieren$f(x)$. Dann denke ich, was die Leute oft meinen, wenn sie „die Konstante gleich Null setzen“ ist, „wähle eine Stammfunktion, die dir am einfachsten erscheint, und nenne diese$F(x)$. Schreiben Sie Ihr Integral als$\int f(x)dx = F(x)+C$, und stellen Sie diese dann ein$C$gleich Null'

Diese Definition des „Setzens der Konstante auf 0“ ist nun subjektiv und kontextabhängig, da sie je nachdem, welche Funktionen Sie für am einfachsten halten, unterschiedlich sein wird. Es ist jedoch oft eine gute Definition, insbesondere bei Einführungskursen in Analysis. In diesem Fall gibt es für viele betrachtete Integrale eine kanonische "einfachste" Stammfunktion; z.B. beim Integrieren$e^{a x}, x^a, \sin(a x)$etc, einfach definieren$F(x)$die Stammfunktion mit den wenigsten Termen zu sein.

Wenn Sie Stammfunktionen für komplexere Funktionen in Betracht ziehen möchten, wie Korn Kruaykitanon betont, sollten Sie Ihre Stammfunktion möglicherweise in Form eines bestimmten Integrals definieren$F(x) := \int_b^x f(x')dx'$. Sie könnten nun zB wählen$b=0$und Sie hätten eine kontextunabhängige Definition von "Konstante gleich 0 setzen", jedoch in der Praxis$b$würden oft immer noch gewählt, um ein bestimmtes Problem zu vereinfachen.

Im allgemeinen Fall macht es keinen Sinn. Was damit gemeint ist, ist, dass Sie davon ausgehen , dass es eine irgendwie kanonische Form gibt, die Stammfunktionen als Summe zu schreiben, und dann alle konstanten Terme aus dieser Summe entfernen, um es so einfach wie möglich zu machen.

In vielen praktischen Fällen gibt es tatsächlich eine Form des „gesunden Menschenverstands“, bei der es offensichtlich ist, welches die konstanten Begriffe sind; Dies ist sicherlich bei Polynomen wie Ihrem Beispiel der Fall. Dies gilt jedoch nicht für beliebige Funktionen (viele Leute scheinen zu glauben, dass eine Funktion ein bestimmter algebraischer Ausdruck ist, aber das ist es nicht)). Ein schönes Beispiel ist$\arccos x = \tfrac\pi2 - \arcsin x$wie in ryangs antwort – keines von beiden$\arccos$Und$\arcsin$ist in jedem sinnvollen Sinne dem anderen vorzuziehen, also ist es meistens eine willkürliche Wahl.

Oft ist es sinnvoll, die Funktion so auszuwählen$F(0) = 0$. Bei Polynomen entspricht dies dem einfachen Weglassen des konstanten Terms. Andererseits ist es für Exponentiale nicht hilfreich, Sie würden einfach a mit sich herumtragen$-1$ohne triftigen Grund, und wenn 0 nicht einmal in der Domäne ist, dann ist dies natürlich überhaupt keine Option.