Definition Topologischer Raum

Betrachten Sie die Definition eines topologischen Raums:

Topologischer Raum: Eine Topologie auf einer Menge X ist eine Sammlung T von Teilmengen von X so dass

  1. ∅ , X ∈ T .

  2. Die Vereinigung von Elementen einer beliebigen Untersammlung von T ist in T .

  3. Der Schnittpunkt der Elemente einer endlichen Untersammlung von T ist in T .

Dann ist ein topologischer Raum das geordnete Paar ( X , T ) bestehend aus einem Satz X und eine Topologie T An X .

Wenn ich diese Idee den Studenten vorstelle, ist es einfach genug zu begründen, warum diese Definition unter Verwendung elementarer Analysis-Konzepte ausgewählt wurde und die Tatsache, dass die Topologie diese Ideen ursprünglich verallgemeinern sollte. Es macht diese Definition für sie zugänglicher. Natürlich kann man die Definition auch auf abgeschlossene Mengen beziehen.

Ich wurde jedoch gefragt, warum diese Definition. Das heißt, nicht warum diese Definition im Vergleich zur Definition der geschlossenen Menge, sondern warum diese Definition besser funktioniert als andere mögliche Definitionen. Dann fragt der Schüler, welche anderen Definitionen versucht wurden und warum sie gescheitert sind, so dass die obige Definition festgelegt wurde.

Ich habe selbst darüber nachgedacht, aber ich habe nie eine Referenz gefunden, die darüber spricht, wie diese Definition diejenige war, die ein Mathematiker im Vergleich zu anderen möglichen Definitionen haben möchte. Ich würde gerne eine gute Antwort für Studenten darauf haben und dies in die Frage einbeziehen, warum die obige Definition „gut“ ist. Kennt jemand eine historische Erklärung in einem Text oder einer Abhandlung, die, wenn auch nur kurz, andere Definitionen diskutiert, die ursprünglich versucht wurden? Es ist mir nicht gelungen, solche Quellen zu finden. Sogar Gedanken zu möglichen alternativen Definitionen einer Topologie, die sich als "unterlegen" gegenüber der Standarddefinition herausstellen, mit einer kurzen Erklärung, warum, wären anstelle einer Quelle akzeptabel.

Ich habe irgendwo eine Kopie von Sierpinskis Buch über Punktmengentopologie, und er definiert eine Topologie in Bezug auf Nachbarschaften anstelle von offenen/geschlossenen Mengen. Dies war das erste Buch zu diesem Thema, das ich gelesen habe. Für mich als Anfänger war es scheußlich und undurchsichtig. Im Vergleich dazu sind offene/geschlossene Mengen eine ziemlich natürliche Definition. Ich vermute, dass dies ein Teil des Grundes ist, warum diese Präsentation verloren gegangen ist ...
Weiß jemand, ob die Idee der allgemeinen Topologie nach der metrischen Raumtopologie entwickelt wurde? Irgendwelche Mathematikhistoriker da draußen?
Das ist eine gute Frage. Wenn ich die Geschichte lese, achte ich oft nicht auf Daten. Aber überraschenderweise scheinen sie fast gleichzeitig erschienen zu sein. Zumindest scheint dies nach meinen Lesungen der Fall zu sein.

Antworten (2)

An der frühen Entwicklung der allgemeinen Punktmengentopologie waren mehrere Personen beteiligt, aber ein großer Teil davon stammt von Felix Hausdorff und ist in seinen Grundzügen der Mengenlehre von 1914 zu finden. (Beachten Sie, dass die englische Ausgabe von später übersetzt wurde Auflage, die stark umgeschrieben wurde.)

Hausdorff stellte fest, dass es drei grundlegende Konzepte gibt, mit deren Hilfe man eine allgemeine Theorie topologischer Räume gründen kann: den Begriff der Entfernung, der Nachbarschaft und der Grenzen. Ausgehend von einem Distanzbegriff kann man die beiden anderen ableiten (wie es Fréchet 1906 getan hatte), und ausgehend von einem Nachbarschaftsbegriff kann man Grenzen definieren. Hausdorff entschied sich dafür, topologische Räume in Form von Nachbarschaftsaxiomen zu definieren, zusammen mit dem, was wir jetzt das Hausdorff-Trennungsaxiom nennen.

In den Jahren nach Hausdorffs Buch wurden verschiedene Varianten der Definition eines topologischen Raums untersucht. Kuratowski gab eine Definition in Form von Schließungsaxiomen. Tietze gab eine Definition in Bezug auf offene Mengen. In den 1930er Jahren wurden mehrere Lehrbücher mit leicht unterschiedlichen Wahlen von Trennungsaxiomen usw. veröffentlicht. Schließlich wählte Bourbaki (oder André Weil und Claude Chevalley) 1940 unsere moderne Definition, die auch in dem einflussreichen Buch von John Kelley (1955) verwendet wurde ).

Alles, was ich schreibe, ist meine Meinung, aber nichts in einigen von Ihnen beschriebenen Quellen.

Wir erinnern uns an die Eigenschaften der offenen Menge der Menge der reellen Zahlen R :

  1. Φ , R sind offene Mengen.

  2. Der Schnittpunkt der Elemente einer endlichen offenen Menge ist eine offene Menge.

  3. Die Vereinigung von Elementen beliebiger offener Mengen ist eine offene Menge.

Aus diesen Eigenschaften wird die Definition des Topologieraums entwickelt. Alle grundlegenden Definitionen (Nachbarschaft, Konvergenz, Fortfahren, Deckung...) in R kann durch offene Menge beschrieben werden, benötigt aber keine Definition von "Entfernung". Um über die Definitionen und Eigenschaften von Räumen zu sprechen X , machen wir eine abstrakte Definition aus der offenen Menge von R und erhalten Sie die Definition des Topologieraums. Tatsächlich ist dies eine Entwicklung der Mathematik. Die Definitionen der Topologie sind keine Einbildung. Und ich habe einige andere Definitionen nicht gehört.

Ich nehme an, ich hätte die Geschichte der Punktmengentopologie sagen sollen, da viele die Topologie als beginnend mit Euler und seinem berühmten Brückenproblem zu betrachten scheinen. Diese Antwort geht zwar nicht darauf ein, ob andere Definitionen versucht wurden. Ich mag die Einfachheit der Beantwortung der meisten Fragen und wie zugänglich sie für die Schüler ist. Es ist leicht genug für sie, sofort zu erkennen, warum die Definition gewählt wurde, und beruhigend genug, um sich auf das Thema zu besinnen. Darüber hinaus enthält es eine allgemeine Idee, die ich den Schülern immer zu betonen versuche, dass „neue“ Mathematik nur einen kleinen Schritt von dem entfernt ist, was wir bereits wussten. +1!
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