Eulers Fehler?

Welche mathematischen Fehler sind Leonhard Euler bekannt?

PS: Wie ich in einem Kommentar unten geschrieben habe: "Allerdings würde ich einen Beweis nicht als Fehler betrachten, nur weil es nach heutigen Maßstäben kein Beweis ist." Jeder weiß, dass Euler über unendlich große ganze Zahlen und über unendlich kleine Zahlen geschrieben hat, die sich von dem unterscheiden, was heute als logisch streng angesehen wird. Ich hatte tatsächlich falsche Schlussfolgerungen oder Argumente im Sinn, die wir heute nicht durch irgendwelche ersetzen können, die wir für streng halten.

Meinst du in Beweisen oder in Satzaussagen?
Entweder, aber vielleicht sind letztere interessanter. Ich würde jedoch einen Beweis nicht als Fehler betrachten, nur weil er nach heutigen Maßstäben kein Beweis ist.
Definiere "mathematischen Fehler". Das ist ziemlich vage. Wenn ich ein Problem aufschreibe (nicht zur Veröffentlichung, sondern nur zum Spaß), und ich sage 2 3 = 6 , ist das ein Fehler? ;)
@anorton Das scheint kein Thema zu sein. Euler ist einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten. Die Frage bezieht sich auf seine veröffentlichten Werke.
@AndresCaicedo Sofern die Frage keine Bearbeitung enthält, die nicht auf meinem Bildschirm angezeigt wird, wird dies nicht ausdrücklich angegeben. Ich denke, dass es angesichts des Fragestellers vernünftig wäre, dies anzunehmen, aber ich halte mich einfach an den gleichen Standard, den ich tun würde, wenn ein Benutzer mit 1 Wiederholung hereinkäme und diese Frage stellen würde. Mit anderen Worten, dass Euler produktiv ist, bedeutet nicht, dass sich die Frage auf veröffentlichte Werke bezieht.
Absterben. Eigentlich ist das kein Fehler, den er gemacht hat, denn
@anorton Sicher, das ist in Ordnung. Es scheint eine absichtlich stumpfe Lektüre einer interessanten Anfrage zu sein, aber machen Sie weiter. Vielleicht gibt es einige Fehler bei seiner Berechnung eines Trinkgeldes, als er eines Abends im Juli 1727 in St. Petersburg speiste, und es könnte für guten Klatsch reichen.
Es ist wahrscheinlicher, dass Euler (heute) BEKANNT ist, dass er einen bestimmten Fehler gemacht hat, wenn er ihn veröffentlicht hat, als wenn er ihn seinem Psychiater zugeflüstert hat, aber wenn irgendwie bekannt ist, dass er einen Fehler gemacht hat, den er nie veröffentlicht hat, verstehe ich kein Grund, warum das hier nicht aufgenommen werden sollte.
Vielleicht möchten Sie sich einige Bücher von William Dunham über Eulers Arbeit ansehen. Mein Eindruck ist, dass Euler ziemlich vorsichtig war mit dem, was er aufschrieb und veröffentlichte, sodass "Fehler" eher an der Grenze der Verlässlichkeit seiner Intuition oder des Verständnisses bestimmter Konzepte (wie der Konvergenz unendlicher Reihen) liegen 18. Jahrhundert.
@Euler....IS_ALIVE: Das ist ein Ergebnis seines vorherigen Fehlers. Er forderte Chuck Norris zu einem Wettbewerb heraus, bei dem es darum ging, alle Ziffern von zu zählen π ; Finden der kleinsten Zahl, die nicht in weniger als zehn Worten beschrieben werden kann; und ein Roundhouse Kicking-Turnier.
Übrigens, mir wurde von einem voll lizenzierten Dichter versichert, dass die Betreffzeile, die ich dieser Frage gegeben habe, "extrem wohlklingend" ist.

Antworten (6)

Euler hatte anscheinend einige Probleme damit, die Jacobi-Methode abzuleiten, die bei der Änderung von Variablen für doppelte Integrale verwendet wird.

Er begann damit, kongruente Transformationen zu betrachten, die aus (affinen) linearen Funktionen bestehen, und bekam so etwas wie

D X D j = M 1 − M 2 D T 2 + ( 1 − 2 M 2 ) D T D v − M 1 − M 2 D v 2
was er als "offensichtlich falsch und sogar bedeutungslos" bezeichnete. Er bekam dann

D X D j = ( ∂ j ∂ v ∂ X ∂ T ) D T D v
was in den Variablen nicht symmetrisch war und daher nicht ausreichen würde. Schließlich leitete er das Richtige ab

D X D j = | ∂ j ∂ v ∂ X ∂ T − ∂ j ∂ T ∂ X ∂ v | D T D v
und beklagte das einfache Ausmultiplizieren
D X D j = ( ∂ X ∂ T D T + ∂ X ∂ v D v ) ( ∂ j ∂ T D T + ∂ j ∂ v D v ) = | ∂ j ∂ v ∂ X ∂ T + ∂ j ∂ T ∂ X ∂ v | D T D v
und das Schreddern der quadrierten Differenzen ergab eine falsche, aber ärgerlich nahe Antwort.

Aber erinnern wir uns, wenn Euler Fehler begangen hat, dann nur wegen der unerreichten Breite seiner Arbeit. Wenn ich mit einem Zitat aus dem unten zitierten Artikel abschließen könnte: "Als Entwickler von Algorithmen zur Lösung von Problemen verschiedener Art wurde Euler nie übertroffen."

Quelle: Für einen hervorragenden Überblick über die Geschichte der Jakobi und um mehr über die Details dessen zu erfahren, was ich geschrieben habe, empfehle ich dringend, diesen Artikel von Prof. Victor J. Katz ( Internet Archive , jstor .

Um fair zu sein, ich habe gerade ein ganzes Kapitel an Material darüber gelehrt, was genau auf diesen Fehler hinausläuft.
@RyanReich Wirklich? War es für einen Mathe-Geschichte-Unterricht oder so etwas?
Gar nicht! Diese Berechnung ist die Grundlage für die moderne Theorie der Integration auf Mannigfaltigkeiten unter Verwendung von Differentialformen.
@RyanReich Ich verstehe. Das muss ich unbedingt lernen :)
Diese Rechnung von Euler ist natürlich der beste Beweis dafür, dass man wirklich eine Differentialform integriert , deren Wechselzeicheneigenschaft ein Minuszeichen erscheinen lässt, so dass man wie erwartet die Determinante (und nicht die Permanente) erhält. Dies ermöglicht es einem auch, Absolutwerte um die Determinante herum loszuwerden, wenn man mehrere Integrale macht. Der Hauptpunkt ist, dass die Änderung von Variablen als Operation auf dem vorzeichenbehafteten Bereich 2-Form betrachtet werden sollte .
Die Verbindung ist unterbrochen.
Und der Fehler ist. . .?

Euler vermutete das für N = 2 ( Mod 4 ) Es gibt keine orthogonalen lateinischen Quadrate der Größe N × N . Bose und Shrikande widerlegten es durch Konstruktion und verdienten sich den Namen Euler's Spoilers. Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Graeco-Latin_square

Aber das ist sicher kein Fehler. Es sei denn, er behauptete das Ergebnis, und erst jetzt lesen wir seine Behauptung als (falsche) Vermutung. Der von Ihnen angegebene Link gibt nicht an, ob dies tatsächlich der Fall war.
@Andres Caicedo: Ich denke, es ist fair zu sagen, dass sich jemand geirrt hat, wenn die von ihm aufgestellte Vermutung widerlegt wird. Lassen Sie mich relevante Teile aus diesem Wikipedia-Artikel kopieren: <quote> Im April 1959 präsentierten Parker, Bose und Shrikhande ihre Arbeit, die zeigte, dass Eulers Vermutung für alle n ≥ 10 falsch ist. Somit existieren griechisch-lateinische Quadrate für alle Ordnungen n ≥ 3 außer n = 6. <end-quote>
Ja, aber ich glaube, dass diese Antwort dem Geist der Frage entspricht. Obwohl es sich nicht wirklich um einen Fehler handelt, war diese Vermutung offensichtlich etwas, das Euler für wahr hielt. Da sich Eulers Vermutung als falsch herausstellte, war sie ein Indikator für die Existenz des Humanitätskoeffizienten dieses Mathematikers - er hatte keinen völlig unfehlbaren Spiegel in das mathematische Universum - aber immer noch einen verdammt guten.
Auch hier kann es sich nur um Definitionen handeln, aber ich halte eine Vermutung nicht für einen Fehler. Es ist eine Vermutung. Wenn ich etwas vermute, selbst wenn es schriftlich ist, weiß ich nicht, ob es wahr ist, unabhängig davon, ob meine Intuition es mir sagt. Ich behaupte nicht, dass es wahr ist, nur dass ich glaube, dass es wahr ist. Nun, wenn ich behaupte, dass es wahr ist, dann mag es anders sein, aber es hängt wirklich von den Gepflogenheiten ab, mit mutmaßlichen Aussagen zu der Zeit umzugehen. Weshalb der Verweis auf Wikipedia nicht sehr befriedigend ist. Am besten wäre es, zu prüfen, was Euler tatsächlich darüber geschrieben hat.
Ich gebe zu, ich habe das Originalwerk von Euler, in dem diese Vermutung steht, nicht gelesen. Wenn Lücken/ungeprüfte Annahmen in einer Argumentation eines Beweises als Fehler angesehen werden sollten, darf dies bei einer solchen Definition nicht als Fehler gelten.
Jedes Mal, wenn Mathematiker versuchen, gesprochene Sprache zu axiomatisieren ... bekommen wir sehr lange Absätze.
@Evgeni Sergev. Das ist eine amüsante und berechtigte Beobachtung.
Hallo Herr! Darf ich wissen, wo Sie unterrichten?
@NSJOHN Wenn Ihr Kommentar (Frage?) an eine Person gerichtet ist, machen Sie deutlich, an wen Sie sich wenden. Wenn jemand persönliche Informationen über sich selbst preisgeben möchte, sind diese verfügbar, wenn Sie auf seinen Namen klicken.
@P Vanchinathan Ja, ich habe Ihr Profil gesehen, Sir. Ich komme auch aus Indien. Ich wollte wissen, wo Sie unterrichten. Ich bin ein Schüler der 10. Klasse
Siehe das Profil in der verlinkten Seite "mathoverflow"

Euler spielte gerne schnell und locker mit divergierenden Serien. Mathematiker jener Zeit schienen sich nicht mit Konvergenzfragen zu befassen.

Ein konkreteres Beispiel: Euler hat einen großen Fehler gemacht, als er versuchte, Fermats letzten Satz zu beweisen N = 3 . Einzelheiten finden Sie unter http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html

Wissen Sie, ob er seine Berechnungen mit Reihen tatsächlich für gültig hält oder nur für ein heuristisches Mittel, um zu Schlussfolgerungen zu gelangen?
Er versenkte auch einige Zeit in die Suche nach einer Methode zur Lösung der allgemeinen quintischen Gleichung. Aber es ist unklar, ob es ein „Fehler“ ist, ein Problem nicht zu lösen, bei dem ein späteres breiteres Verständnis (und neue „Werkzeuge“) zeigen würden, dass solche Bemühungen erfolglos wären.

Dies ist kein echter Fehler, aber es ist sicherlich eine Falle. Hoffentlich kann jemand folgendes überprüfen. In Eulers Originalbeweis des Basler Problems ( ζ ( 2 ) = π 2 / 6 ), nutzte er die Tatsache, dass

Sünde ⁡ ( z ) = z ∏ N ≥ 0 ( 1 − z 2 N 2 π 2 ) .

Dies war lange vor dem Faktorisierungssatz von Weierstrass, der einen Vorfaktor von zulässt e G ( z ) und im Fall von Sinus ist dieser Vorfaktor nur 1. Streng zu zeigen, dass die obige Faktorisierung gilt und dass der Vorfaktor 1 ist, ist nicht trivial, und soweit ich weiß, hatte Euler keinen soliden Beweis für diese Tatsache.

Diese Wiki-Seite: en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Euler.27s_approach stimmt mit dem überein, was Sie behauptet haben. Angesichts der Tatsache, dass er ein berühmtes Problem gelöst hat, und zwar richtig , weiß ich nicht, ob ich dies als Fehler (oder sogar als Fallstrick) bezeichnen würde.
Die Idee, dass man Weierstrass braucht, um Euler zu formalisieren, ist nicht nur vorläufig; es ist eigentlich falsch . In diesem Artikel wird eine moderne Formalisierung von Eulers unendlicher Produktzerlegung des Sinus erklärt, die Euler selbst (und nicht Weierstraß) folgt
Mit anderen Worten, es ist keineswegs eine „Fallgrube“, dass Euler es versäumt hat, Weierstrass zu folgen.
@user72694 Ich glaube, Ihr "Weierstraß vs. Infinitesimals"-Detektor hat hier einen Fehlalarm gegeben. Weierstraß tritt hier nur als derjenige auf, der den allgemeinen Faktorisierungssatz bewiesen hat, der den Beweis der Produktformel für den Sinus erleichtern würde, da damit die Struktur der Teile bekannt ist. Ob Eulers Ableitung des Produkts streng war oder nicht, ist eine andere Frage (auf die ich die Antwort nicht kenne, ich habe die des Mannes selbst nicht gelesen).
Ich würde solche Dinge nicht wirklich als Fehler in dem von mir beabsichtigten Sinne betrachten. Jeder weiß, dass Euler viele solcher Dinge getan hat, und das hatte ich im Sinn, als ich oben in einem Kommentar schrieb: "Ich würde jedoch einen Beweis nicht als Fehler betrachten, nur weil er nach heutigen Maßstäben kein Beweis ist." Aber du hast X als unabhängige Variable auf der linken Seite und z auf der rechten Seite.
@DanielFischer, offensichtlich wusste Euler nichts über moderne Grundgerüste, daher kann nicht behauptet werden, dass seine Beweise buchstäblich wahr sind, ohne in Präsentismus zu verfallen. Ich bleibe jedoch bei meinem Standpunkt, dass eine implizite Annahme von Alex 'Antwort darin besteht, dass die einzige Möglichkeit, Eulers Argument zu rechtfertigen, Weierstrassche Mittel sind. Dass dies nicht der Fall ist, wurde bereits in den 1980er Jahren von Kanovei nachgewiesen und hier ausführlich diskutiert . Insgesamt würde ich also behaupten, dass der "Weierstraß vs. Infinitesimals"-Detektor hier Alarm schlägt.
@ user72694 Mein Punkt ist, dass ich überzeugt bin, dass Sie die Antwort falsch lesen. Soweit ich weiß, geht es Alex nicht darum, dass man keinen rigorosen Beweis für die Produktdarstellung in irgendeiner Form von Nicht-Standard-Analyse geben kann, die man bevorzugt. Der Punkt, so wie ich es verstehe, ist, dass Alex sagt, dass Euler keinen rigorosen (verstehen wir das als "rigoros nach den Maßstäben von Eulers Zeiten") Beweis dafür hatte G ( z ) in der Produktdarstellung
Sünde ⁡ z = e G ( z ) ⋅ z ∏ N = 1 ∞ ( 1 − z 2 N 2 π 2 )
verschwindet identisch. (Ich weiß nicht, ob Euler hatte.)
@DanielFischer, das ist nur mein Punkt: Kein Mathematiker vor den 1870er Jahren kann behaupten, überhaupt einen strengen Beweis für irgendetwas geliefert zu haben , da der Genauigkeitsstandard, den wir heute anwenden, von den grundlegenden Rahmenbedingungen abhängt, die erst seit den 1870er Jahren entwickelt wurden. Man kann nur von dieser oder jener Formalisierung der Argumente der großen klassischen Pioniere sprechen. Zu behaupten, dass sie nicht „rigoros“ waren, ist in gewisser Weise eine leere Aussage, weil sie unmöglich so in dem Sinne sein können, in dem wir den Begriff „Strenge“ verstehen. Hier Benacerrafs Dichotomie von mathematischer Praxis versus
... mathematische Ontologie kann bei der Klärung dieser Probleme sehr hilfreich sein. Wenn Sie möchten, kann ich Ihnen einen Text schicken, der diese Fragen speziell im Kontext von Euler untersucht.
@ user72694 Ich denke, du verfehlst immer noch den Punkt. Der Punkt ist nicht, dass die heutigen Standards der Strenge andere sind. Das war schon zu Eulers Zeiten klar
" P ( z ) = z ∏ N = 1 ∞ ( 1 − z 2 N 2 π 2 )
ist eine ganze Funktion, die die gleichen Nullstellen hat wie Sünde ⁡ z “ ist kein strenger Beweis dafür P ( z ) = Sünde ⁡ z . Auch ohne in eine Bibliothek zu gehen, um sich Eulers Originalarbeit anzusehen, bin ich bereit zu wetten, dass Euler mehr Argumente als das vorgebracht hat, um dies zu folgern Sünde ⁡ z P ( z ) ≡ 1 , aber ich finde es nicht unmöglich zu glauben, dass seine Argumente nach damaligen Maßstäben mangelhaft waren.
Ich halte mich mit einem Urteil über diesen Punkt zurück, weil ich nicht gelesen habe, was Euler tatsächlich geschrieben hat, als er seine Produktdarstellung erhielt.
Die "Bibliothek", in die Sie heutzutage "gehen" können (vorausgesetzt, Sie wissen, welche Dokumente Sie suchen, und können Latein lesen), ist hier: eulerarchive.maa.org
@DanielFischer, wenn entweder das OP oder Sie implizieren, dass Euler lediglich bemerkt hat, dass Sinus die gleichen Nullstellen wie das unendliche Produkt hat, und daraus der Schluss gezogen wurde, dass sie gleich sein müssen, um Liouvilles Theorem implizit auszunutzen, dann kann ich Ihnen versichern, dass Euler es getan hat nichts der gleichen. Vielmehr lieferte er ein ausführliches Argument mit etwa 7 verschiedenen Schritten, wie in der von mir oben angegebenen Referenz erörtert. Ich denke, diese Diskussion unterstützt meinen Vorschlag, dass die Objektivität der Euler-Forschung wiederhergestellt werden muss ...
... und deshalb lade ich Sie ein, Aufgeschlossenheit zu zeigen und für die Wiedereröffnung dieses Threads zu stimmen: math.stackexchange.com/questions/764242/…
@ user72694 Wie gesagt, ohne auch nur hinzusehen, bin ich bereit zu wetten, dass Euler mehr Argumente für die Identität gegeben hat. Was ich nicht weiß, ist, ob seine Argumente ausreichend waren. Aber die Frage, ob die von ihm angeführten Argumente ausreichend waren oder nicht, hängt höchstwahrscheinlich in keiner Weise von der Verwendung von Infinitesimalzahlen ab. Ich denke, Sie lesen Dinge in diese Antwort, die der Autor in keiner Weise gemeint hat. Ich kann mich mit dieser Interpretation natürlich irren, aber ich sehe nichts in der Antwort, das das angebliche Fehlen eines strengen Beweises mit Eulers Verwendung von Infinitesimalen in Verbindung bringt.
@ user72694: Ihre Referenz ist aufschlussreich. Eine Sache, die es bestätigt, ist, dass in den Schritten seiner Ableitung tatsächlich „versteckte“ Lemmata am Werk waren, die einer weiteren Begründung bedurften. Wenn man sich diese versteckten Lemmata nur kurz ansieht, scheinen sie dem Beweis des Faktorisierungssatzes von Weierstrass sehr ähnlich zu sein, insbesondere die Zerfallsrate der beteiligten Reihen. Ich glaube nicht, dass hier irgendjemand die Nützlichkeit seiner Methoden bestreitet. Vielleicht wäre eine gute Klassifizierung "physikalische Methoden in Mathematik", die dabei eine gewisse Handwelligkeit aufweisen.
@DanielFischer, ich wollte sicherlich nicht andeuten, dass das OP Vorurteile gegen Infinitesimals hat; andererseits. Ich habe sogar einen Kommentar zu einer seiner jüngsten Antworten hinterlassen, in dem ich ihm dafür danke, dass er eine ausgewogene Sicht auf diese sehr winzigen Dinge präsentiert. Es gibt jedoch eine allgemeine Wahrnehmung, dass die frühen Arbeiten in der Infinitesimalrechnung logisch nicht stichhaltig waren, und dies beeinflusst auch unsere Ansichten über Euler. Und ich stimme Ihrem obigen Kommentar sicherlich nicht zu, dass Eulers Beweis der unendlichen Produktformel gute Chancen hat, selbst nach den Maßstäben seiner Zeit nicht streng zu sein.
Wenn ich "Fallgrube" sage, meine ich auch wirklich, dass man vielleicht nicht so viel Glück hat, wenn man ähnliche Techniken anderswo anwendet. Mir fällt im Moment kein Beispiel ein, aber es scheint, als sollte man versuchen, eine Funktion zu finden, deren Taylor-Reihe langsamer abklingt als die Anforderung des versteckten Lemmas, was hoffentlich eine seltsame Antwort für die Faktorisierung geben würde.
@AlexR., ich freue mich auf jeden Fall über Ihr Interesse. Einige der Infinitesimal-Argumente ähneln den traditionellen, andere nicht. Die Sichtweise des „verborgenen Lemmas“ auf Eulers Arbeit wurde von Laugwitz in einer Reihe seriöser Studien initiiert, die in erstklassigen Geschichts- und Philosophiezeitschriften veröffentlicht wurden, und wurde von mehreren Autoren in den letzten zwei Jahrzehnten erfolgreich weiterverfolgt. Und noch einmal, ich glaube nicht, dass Eulers Infinitesimal-Methoden mehr "Handwinken" erforderten als jedes andere Gebiet der Mathematik zu dieser Zeit.
@ user72694 "Ich finde es nicht unmöglich zu glauben" ist etwas ganz anderes als "hat eine gute Chance".
@DanielFischer, vielleicht sollte dies an dieser Stelle auf SE-Englisch verschoben werden :-)

Auf Peter Schumers Buch "Einführung in die Zahlentheorie" Seite 80 ist zu lesen, dass Euler einen fehlerhaften Beweis dafür lieferte, dass alle Primzahlen primitive Wurzeln haben

In der Einführung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven von Silverman und Tate wird behauptet, dass Euler in den 1730er Jahren eine falsche Lösung für eine von Fermat in den 1650er Jahren gestellte Frage geliefert hatte, die zeigen sollte, dass die Gleichung

j 2 − X 3 = − 2
hat nur zwei Lösungen in ganzen Zahlen, nämlich ( 3 , ± 5 ) . Es wird jedoch kein Zitat angegeben.

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