Wie wurde eee zuerst berechnet?

Hier sind vier verschiedene Beispiele zum Durchlesen.

• Buch : "e: Die Geschichte einer Zahl", Eli Maor
• Website : Die Nummer e
• Paper : d The Exponential - the Magic Number of Growth
• Zeitschrift : JL Coolidge, Die Zahl e, Amer. Mathematik. Monatlich 57 (1950), 591-602

Ich zitiere hier aus einem alten USENET-Beitrag von Matthew P. Wiener, der darauf hinweist, dass Erklärungen beteiligt sind$\sum\frac1{n!}$Und$\left(1+\frac 1n\right)^n$waren eigentlich nicht die ersten Auftritte oder Berechnungen von$e$:

Napier, der die Logarithmen erfunden hat, hat mehr oder weniger eine Tabelle von Logarithmen zur Basis ausgearbeitet$\frac1e$, folgendermaßen:

0 1 2 3  4  5  6   7   8   9   10 ...
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ...

Der arithmetischen Progression in der ersten Reihe entspricht eine geometrische Progression in der zweiten Reihe. Wenn Sie zufällig 16 mit 32 multiplizieren möchten, die sich zufällig in der unteren Reihe befinden, können Sie ihre „Protokolle“ in der ersten Reihe nachschlagen und 4+5 addieren, um 9 zu erhalten, und dann 16 schließen ·32=512.

Für die meisten praktischen Zwecke ist dies nutzlos. Napier erkannte, was man im Allgemeinen multiplizieren muss$1+\epsilon$für eine Basis – die Zwischenwerte werden viel umfangreicher sein. Mit der Basis 1,01 erhalten wir beispielsweise:

  0 1.00   1 1.01   2 1.02   3 1.03   4 1.04   5 1.05
  6 1.06   7 1.07   8 1.08   9 1.09  10 1.10  11 1.12
 12 1.13  13 1.14  14 1.15  15 1.16  16 1.17  17 1.18
 18 1.20  19 1.21  20 1.22  21 1.23  22 1.24  23 1.26
 24 1.27  25 1.28  26 1.30  27 1.31  28 1.32  29 1.33
 30 1.35  31 1.36  32 1.37  33 1.39  34 1.40  35 1.42
[...]
 50 1.64  51 1.66  52 1.68  53 1.69  54 1.71  55 1.73
[...]
 94 2.55  95 2.57  96 2.60  97 2.63  98 2.65  99 2.68
100 2.70 101 2.73 102 2.76 103 2.79 104 2.81 105 2.84
[...]

Wenn Sie also beispielsweise 1,27 mit 1,33 multiplizieren müssen, schauen Sie einfach in ihren Protokollen nach, in diesem Fall 24 und 29, addieren Sie sie und erhalten Sie 53, also 1,27 · 1,33 = 1,69. Für zwei-/dreistellige Arithmetik benötigt die Tabelle nur Einträge bis 9,99.

Beachten Sie, dass$e$ist fast da, als Antilogarithmus von 100. Der natürliche Logarithmus einer Zahl lässt sich aus obiger Tabelle als gerade ablesen$\frac1{100}$der entsprechende Exponent.

Was Napier tatsächlich tat, war die Arbeit mit der Basis .9999999. Er verbrachte 20 Jahre damit, Rechenleistung von 0,9999999 von Hand zu berechnen und eine großartige Version des oben Genannten zu produzieren. Das ist es. Kein tiefes Verständnis von irgendetwas, kein Kalkül und$e$trotzdem auftaucht – in Napiers Fall$\frac1e$war der 10-millionste Eintrag. (Um pedantisch zu sein, Napier verwendete eigentlich keine Dezimalpunkte, das war zu dieser Zeit ein neuer Begriff.)

Später, bei seinem historischen Treffen mit Briggs, wurden zwei Änderungen vorgenommen. Ein Wechsel zu einer Basis$> 1$wurde so gemacht, dass Logarithmen in der gleichen Richtung wie die Zahlen skaliert wurden, und der Abstand auf den Logarithmenseiten wurde so gewählt$\log(10)=1$. Diese beiden Änderungen waren eigentlich nur eine Division durch$-\log_e(10)$.

Mit anderen Worten,$e$trat eher implizit zum ersten Mal auf.

Die Kalkülverbindung kam später. Fermat hatte das Quadraturproblem für erfolgreich gelöst$y=x^n$für$n\ne -1$, aber nicht für$y=\frac1x$. Fermats Methode bestand darin, geometrisch beabstandete Intervalle auf dem zu verwenden$x$Achse, und die resultierenden Flächen zu addieren. Es dauerte eine Weile, bis ein Zeitgenosse bemerkte, dass diese Methode arithmetisch beabstandete Bereiche unter der Hyperbel erzeugte – dh, dass ein Logarithmus vor sich geht.

Meine Lieblingserklärung besteht darin, einer Investition Zinsen hinzuzufügen.

Nehmen wir an, Sie investieren etwas Geld und die Bank gibt Ihnen jährlich Zinsen. Am Ende des ersten Jahres hätten Sie$I(1+r)$, Wo$I$ist die Investition und$r$ist der Zinssatz als Dezimalzahl, dh 5 % = 0,05.

Nehmen wir nun an, Sie sind ungeduldig und möchten häufiger Zinsen erhalten. Die Bank bietet möglicherweise an, zweimal im Jahr den halben Zinssatz zu berechnen. Statt einmalig 5 % erhalten Sie also zweimal 2,5 %:$I(1+\tfrac{r}{2})^2$.

Nehmen wir nun an, Sie sind immer noch nicht glücklich und möchten häufiger Interesse haben. Die Bank bietet möglicherweise an, viermal im Jahr ein Viertel des Zinssatzes anzuwenden. Statt einmalig 5 % erhalten Sie also viermal 1,25 %:$I(1+\tfrac{r}{4})^4$.

Wenn die Bank die Zinsen erhebt$n$mal in einem Jahr dann hättest du$I(1+\tfrac{r}{n})^n$nach einem Jahr.

Was passiert als$n$wird immer größer? Angenommen, die Bank zahlt Zinsen nicht monatlich, nicht wöchentlich, nicht täglich, nicht einmal stündlich. Was ist, wenn die Bank kontinuierlich Zinseszinsen zahlt? Also:

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^n = \operatorname{e}^r$$

Aus diesem Grund taucht das Exponential in der Bevölkerungsdynamik und im nuklearen Zerfall auf. Fast jeden Moment wird jemand geboren, was der Bevölkerung einen winzigen kontinuierlichen Anstieg beschert, genau wie die Bank kontinuierlich winzige Beträge an Zinsen hinzufügt.

Wenn Sie trainieren möchten$\operatorname{e}$dann beachte das einfach

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \operatorname{e}$$

Wählen Sie für eine sehr gute Annäherung einfach einen sehr großen Wert$n$. Zum Beispiel:

$$\left(1+\frac{1}{10,000}\right)^{10,000} \approx 2.71815$$

Ein besserer Weg, eine Annäherung zu finden, wäre natürlich die Verwendung ihrer Potenzreihe:

$$\operatorname{e}^x \sim 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots$$ Dies ist viel einfacher zu berechnen und kommt sehr schnell sehr nahe: $$1 + 1 + \tfrac{1}{2!} + \cdots +\tfrac{1}{10!} \approx 2.71828$$