Diagonale einer dünnen rechteckigen Folie, Trägheitshauptachse?

Die Trägheitsmatrix für eine dünne rechteckige Folie (die entlang der xy- Ebene liegt) in Körperkoordinaten ist

$$I_{body} = \begin{vmatrix} \frac{m}{12} b^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{12} a^2 & 0 \\ 0& 0 & \frac{m}{12}(a^2+b^2) \end{vmatrix}$$

Wo$a$Und$b$sind die Seitenmaße.

Die Trägheitsmatrix in Weltkoordinaten, während sie um den Winkel gedreht wird$\theta$um die z- Achse ist definiert durch

$$I = {\rm Rot}(\hat{k},\theta) I_{body} {\rm Rot}(\hat{k},-\theta)$$

$$I = \frac{m}{12} \begin{vmatrix} a^2 + (b^2-a^2)\cos^2 \theta & (b^2-a^2) \sin \theta \cos \theta & 0 \\ (b^2-a^2) \sin \theta \cos \theta & b^2 + (a^2-b^2) \cos^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & a^2+b^2 \end{vmatrix}$$

Um dies zu einer Hauptachse zu machen, müssen die Terme außerhalb der Diagonale Null sein.

$$(b^2-a^2) \sin \theta \cos \theta = 0$$

Dies gilt nur, wenn$a=b$oder$\theta = n \frac{\pi}{2}$Wo$n=0,1,2 \ldots$

Sobald Sie Ihre Trägheitsmatrix in Weltkoordinaten haben, berechnen Sie das Nettodrehmoment am Massenmittelpunkt als

$$\vec{\tau} = I \dot{\vec{\omega}}+ \vec{\omega} \times I \vec{\omega}$$

Der Begriff, den Sie erhalten, ergibt sich aus dem Drehmoment des rotierenden Rahmens.