Ändert sich das Trägheitsmoment?

Ich arbeite gerade an einer Übungsaufgabe für meine bevorstehende Prüfung und habe Schwierigkeiten, mich mit dem Trägheitsmoment zurechtzufinden.

Wenn der Ball Masse hat$m$und dreht sich mit Geschwindigkeit im Kreis$v_0$dann kann ich den Drehimpuls bestimmen.

$\vec{L}=m(r_0\times v_0)$

Angenommen, jemand zieht an der Schnur, bis die Kugel den Kreis mit Radius umrundet$\frac{r_0}{2}$. Was ist seine neue Geschwindigkeit?

Ich nahm an, dass der Drehimpuls erhalten bleibt (ich bin mir da nicht sicher).

$\implies \vec{L_1}=\vec{L_2} \iff m(r_0\times v_0)=m(\frac{r_0}{2}\times v_1)$

$\iff r_0\times v_0=\frac{r_0}{2}\times v_1 \iff |r_0||v_0|\sin(\alpha)=|\frac{r_0}{2}||v_1|\sin(\alpha)$

Ich bin auch davon ausgegangen, dass der Winkel zwischen beliebigen$r$Und$v$würde sich nicht ändern (da bin ich mir auch nicht sicher)

$\implies v_1=2v_0$

Dies würde bedeuten, dass der halbe Radius die doppelte Geschwindigkeit impliziert. Ich bin etwas verwirrt darüber, weil$v=\omega r$sagt mir, dass die Geschwindigkeit die Hälfte der ursprünglichen Geschwindigkeit sein sollte, es sei denn$\omega$hat sich verändert. Das bringt mich zurück zum Trägheitsmoment. Hat sich das Trägheitsmoment geändert, als der Ball abging$r_0$Zu$\frac{r_0}{2}$? Dies würde die Änderung der Winkelgeschwindigkeit seitdem erklären$\vec{L}=I\cdot \vec{\omega}$.