Das Trägheitsmomentintegral hat Masse, nicht das Radiusdifferential?

Question

Das Trägheitsmomentintegral hat Masse, nicht das Radiusdifferential?

rb612

Wir haben über die Ableitung des Trägheitsmoments gelernt als:

\int R^{2} D M

$\int r^2 dm$

Allerdings sieht das für mich etwas nach hinten aus. Als Mathematikstudent im ersten Jahr sehe ich das Differential in der Integration fast als die "unabhängige" Variable und die darin enthaltene Funktion als die "abhängige" Variable (wenn wir normalerweise integrieren, haben wir so etwas wie $\int f(x) dx$ , also habe ich diese Intuition entwickelt).

Wenn man jedoch dieser Idee folgt, scheint es, als wäre der Radius irgendwie eine Funktion der Masse. Ich würde denken, es wäre umgekehrt, wie in, ich gebe den Radius ein und dann gibt mir die Funktion die differentielle Masse bei einem bestimmten Radius. Können Sie mir bitte eine Intuition geben, warum wir das Objekt in unterschiedliche Massen und nicht in unterschiedliche Abstände von der Rotationsachse aufteilen?

Benutzer36790

Es ist eigentlich

\int r^{2} ρ (r) d^{3} r .

$\displaystyle \int r^2~\rho(r)~\mathrm d^3r\,.$

rb612

Ah, kannst du das bitte erklären?

Benutzer36790

ρ (r)

$\rho(r)$ ist die Masse pro Volumeneinheit, falls dich das stört.

David Hammen

@MAFIA36790 -- Eigentlich ist das falsch.

Benutzer36790

Sicher; Ich habe nicht immer recht; Also lass mich wissen, warum das falsch ist @David.

JamalS

@ MAFIA36790 Es ist richtig, aber ich vermute, er möchte, dass Sie zwischen den verschiedenen unterscheiden

r

$r$ . Der

r^{2}

$r^2$ ist das Quadrat des senkrechten Abstands eines beliebigen Punktes im Volumen zur Rotationsachse, während die

r

$r$ In

ρ (r)

$\rho(r)$ ist nur die radiale Koordinate oder stellt die verwendeten Koordinaten dar.

Benutzer36790

@JamalS, ja, ich habe das \mathbfSchild vergessen, als ich im Chat geschrieben habe.

JamalS

@MAFIA36790 Das hilft nicht; Schreiben

ρ (r)

$\rho (\mathbf{r})$ ändert nichts daran, dass

r^{2}

$r^2$ könnte immer noch als interpretiert werden

| \cdot |^{2}

$| \cdot |^2$ davon; jeder Text macht diese Unterscheidung normalerweise nicht klar - man sollte imo umbenannt werden.

Benutzer36790

ja, @JamalS, da stimme ich voll und ganz zu; Ich hätte es löschen sollen; aber JohnR hat es sowohl in seinem Beitrag als auch im Chat bereits getan.

David Hammen

@MAFIA36790 - Ein kleineres Problem ist das

d^{3} r

$\mathrm d^3r$ ist etwas schlampig. Immer noch ein Notationsmissbrauch,

d^{3} r

$\mathrm d^3 \mathbf r$ ist etwas besser. Mein Haupteinwand war jedoch die Verwendung von

r^{2}

$r^2$ . Dies sollte das Quadrat des Abstands zur Rotationsachse sein. Wenn die Rotationsachse durch den Ursprung geht, ist ein besserer Ausdruck

\int (r^{2} - (r \cdot \hat{u})^{2}) ρ (r) d^{3} r

$\int~\left(r^2-(\mathbf r \cdot \hat {\mathbf u})^2\right)\,\rho(\mathbf r)\,\mathrm d^3\mathbf r$ , Wo

\hat{u}

$\hat {\mathbf u}$ ist ein Einheitsvektor entlang der Rotationsachse.

Benutzer36790

Ich stimme Ihnen wirklich zu; Ich habe viele Bücher mit gesehen

d^{3} r

$\mathrm d^3r$ aber ich bevorzuge

d^{3} r

$\mathrm d^3\mathbf r$ was ich im Chat erwähnt habe, als ich mich mit John darüber unterhalten habe und ja,

I_{n} = n \cdot I \cdot n

$I_n = \mathbf n\cdot \mathsf I\cdot \mathbf n$ ist der richtige Weg, um das eigentliche Problem anzugehen. Hatte es in Eile geschrieben; aber es ist gut für zukünftige Leser, denke ich, nach dieser anschließenden Diskussion @davidH.

Knzhou

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Es ist eigentlich $\displaystyle \int r^2~\rho(r)~\mathrm d^3r\,.$
$\rho(r)$ ist die Masse pro Volumeneinheit, falls dich das stört.
Sicher; Ich habe nicht immer recht; Also lass mich wissen, warum das falsch ist @David.
@ MAFIA36790 Es ist richtig, aber ich vermute, er möchte, dass Sie zwischen den verschiedenen unterscheiden $r$ . Der $r^2$ ist das Quadrat des senkrechten Abstands eines beliebigen Punktes im Volumen zur Rotationsachse, während die $r$ In $\rho(r)$ ist nur die radiale Koordinate oder stellt die verwendeten Koordinaten dar.
@JamalS, ja, ich habe das \mathbfSchild vergessen, als ich im Chat geschrieben habe.
@MAFIA36790 Das hilft nicht; Schreiben $\rho (\mathbf{r})$ ändert nichts daran, dass $r^2$ könnte immer noch als interpretiert werden $| \cdot |^2$ davon; jeder Text macht diese Unterscheidung normalerweise nicht klar - man sollte imo umbenannt werden.
ja, @JamalS, da stimme ich voll und ganz zu; Ich hätte es löschen sollen; aber JohnR hat es sowohl in seinem Beitrag als auch im Chat bereits getan.
@MAFIA36790 - Ein kleineres Problem ist das $\mathrm d^3r$ ist etwas schlampig. Immer noch ein Notationsmissbrauch, $\mathrm d^3 \mathbf r$ ist etwas besser. Mein Haupteinwand war jedoch die Verwendung von $r^2$ . Dies sollte das Quadrat des Abstands zur Rotationsachse sein. Wenn die Rotationsachse durch den Ursprung geht, ist ein besserer Ausdruck $\int~\left(r^2-(\mathbf r \cdot \hat {\mathbf u})^2\right)\,\rho(\mathbf r)\,\mathrm d^3\mathbf r$ , Wo $\hat {\mathbf u}$ ist ein Einheitsvektor entlang der Rotationsachse.
Ich stimme Ihnen wirklich zu; Ich habe viele Bücher mit gesehen $\mathrm d^3r$ aber ich bevorzuge $\mathrm d^3\mathbf r$ was ich im Chat erwähnt habe, als ich mich mit John darüber unterhalten habe und ja, $I_n = \mathbf n\cdot \mathsf I\cdot \mathbf n$ ist der richtige Weg, um das eigentliche Problem anzugehen. Hatte es in Eile geschrieben; aber es ist gut für zukünftige Leser, denke ich, nach dieser anschließenden Diskussion @davidH.

John Rennie · Answer 1

Angenommen, Sie haben eine einzelne Punktmasse $m$ auf Distanz $r$ , dann ist das Trägheitsmoment natürlich nur:

ICH = M R^{2}

$I = mr^2$

Aber nehmen wir jetzt an, unsere Masse ist ein ausgedehntes Objekt, keine Punktmasse, also gilt die obige Gleichung nicht. Wir könnten eine Annäherung für bekommen $I$ durch Aufteilen der Masse in $n$ kleinere Massen $m_i$ mit Massenschwerpunkten bei $r_i$ :

\begin{aligned} ICH & \approx M_{0} R_{0}^{2} + M_{1} R_{1}^{2} + ... + M_{N} R_{N}^{2} \\ \approx \sum_{ich = 0}^{N} M_{ich} R_{ich}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} I &\approx m_0r_0^2 + m_1r_1^2 + \text{...} + m_nr_n^2 \\ &\approx \sum_{i~=~0}^n m_i r_i^2 \end{align}$

Um dies genau zu machen, erhöhen wir die Aufspaltung in unendlich viele unendlich kleine Massen $dm$ , und die Summe wird zu einem Integral:

ICH = \int D M R^{2}

$I = \int~\mathrm dm\,r^2$

Und das bedeutet die Gleichung, die Sie angeben. Aber in der Praxis würden wir uns nicht ausdrücken $r$ als Funktion von $m$ und integrieren in Bezug auf $\mathrm dm$ . Stattdessen bemerken wir das $\mathrm dm = \rho~\mathrm dV$ , Wo $\mathrm dV$ ist das infinitesimale Volumen unserer infinitesimalen Masse. Angenommen, wir verwenden kartesische Koordinaten mit der Rotationsachse entlang der $z$ Achse, dann ist unser Volumenelement $\mathrm dV = \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ und unser Integral wird zu:

ICH = \int \int \int R (X, j)^{2} ρ (X, j, z) D X D j D z

$I = \int \int \int r(x,y)^2 \rho(x,y,z)~\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$

Wo $r$ ist der Abstand von der Achse:

R^{2} = X^{2} + j^{2}

$r^2 = x^2 + y^2$

Aber schreiben $\displaystyle \int r^2~\mathrm dm$ ist viel kürzer und bedeutet dasselbe.

JamalS · Answer 2

Das Integral in der Frage ist eine akzeptable Definition; wenn wir schreiben,

ICH = \int D M R^{2}

$I = \int dm \, r^2$

das meinen wir hier $r$ ist der Abstand, den ein Punkt des Objekts von der Rotationsachse hat, als Funktion der Masse. Eine äquivalente Definition von $I$ wäre,

ICH = \int_{v} D v ρ R^{2}

$I = \int_V dV \, \rho \, r^2$

wo nochmal $r$ ist der Abstand von der Achse, diesmal jedoch als Funktion der Position des Punktes.

Bildhaftes Beispiel

Stellen Sie sich einen Stab unendlich kleiner Dicke und Länge vor $\ell$ im $xy$ -Flugzeug, sagen wir, ruht auf dem $x$ Achse vom Ursprung bis $x= \ell$ , und wir drehen es um die $z$ -Achse. Dann ist die Masse eines Punktes eine Entfernung $x$ vom Ursprung wird sein, $m(x) = \lambda x$ , Wo $\lambda$ ist die lineare Dichte. Dies umzukehren bedeutet,

R_{A X ich S}^{2} = \frac{M^{2}}{λ^{2}}

$r^2_{\mathrm{axis}} = \frac{m^2}{\lambda^2}$

und unter Verwendung der ersten Definition von $I$ , durch Integration über alle Massen haben wir,

ICH = \int_{0}^{λ ℓ} D M \frac{M^{2}}{λ^{2}} = \frac{1}{3} λ ℓ^{3} = \frac{1}{3} M ℓ^{2}

$I = \int_0^{\lambda \ell} dm \, \frac{m^2}{\lambda^2} = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2$

Wo $M = \lambda \ell$ ist die Gesamtmasse. Wenn Sie nun mit der zweiten Definition fortfahren, beachten Sie, dass die Dichte ist $\rho(x,y) = \lambda \delta(y)\mathbb{1}_{[0,\ell]}( x)$ und dass der Abstand von der Achse gegeben ist durch $r^2_{\mathrm{axis}} = x^2 + y^2$ . Integrieren,

\int_{v} D j D X ρ (X^{2} + j^{2}) = {[\frac{1}{3} λ X^{3}]}_{0}^{ℓ} = \frac{1}{3} λ ℓ^{3} = \frac{1}{3} M ℓ^{2} .

$\int_V dy dx \, \rho (x^2 + y^2) = \left[ \frac{1}{3}\lambda x^3\right]^{\ell}_0 = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2.$

An diesem Beispiel können Sie sehen, warum die Definitionen äquivalent sind, aber wir verwenden oft die zweite, insbesondere weil es nicht immer so einfach ist, den Abstand von der Achse als Funktion der Masse auszudrücken, und es ziemlich seltsam ist, sich vorzustellen, dass sie in Beziehung stehen dieser Weg.

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