Diagonalisierung und Tarskis Theorem von der Unausdrückbarkeit der Wahrheit

Ich habe Peter Smiths Intro zu Gödels Theorem gelesen , aber ich kann nicht verstehen, wie die Diagonalisierung in Tarskis Theorem der Unausdrückbarkeit der Wahrheit funktioniert.

Die erwähnte Carnap-Äquivalenz hat die Form γ⟺φ(⌜γ⌝), wobei φ(x) ein beliebiges wff der Sprache mit einer freien Variablen ist. Eine gängige Interpretation, die ich in Bezug auf diese Äquivalenz gesehen habe, ist, dass γ sagt, dass es selbst bestimmte Eigenschaften hat.

Smiths Erklärung verwendet diese Äquivalenz, bezieht sich aber stattdessen auf ein negiertes Wahrheitsprädikat.

  1. Wie kommt es, dass Smith die Äquivalenz auf ein negiertes Wahrheitsprädikat anwenden konnte? Soweit ich weiß, kann die Äquivalenz nur auf ein Prädikat ohne zusätzlichen logischen Operator angewendet werden.

  2. Ist dieser Satz nicht nur eine Variante des Lügner-Paradoxons? Aber soweit ich weiß, spricht niemand davon, dass dieses Theorem mit dem Lügner zusammenhängt, also was ist der Unterschied?

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Negation ist kein "Operator", sondern nur ein Konnektiv, das zusammen mit allen anderen Konnektiven und Quantoren zur Bildung von wff verwendet werden kann. Und die Undefinierbarkeit der Wahrheit wird routinemäßig mit dem Lügnerparadoxon in Verbindung gebracht, siehe zB IEP, Tarski's Undefinability Theorem .

Antworten (2)

1. Du hast selbst geschrieben:

γ⟺φ(⌜γ⌝), wobei φ(x) ein beliebiges wff der Sprache mit einer freien Variablen ist.

¬T A (x) ist ein wff der Sprache mit einer freien Variablen. φ(x) muss keine atomare Formel sein.

2. In gewisser Weise ja. Was Tarski hier zeigt, ist, dass eine formale Sprache wegen des Lügnerparadoxons kein Wahrheitsprädikat haben kann, das auf Sätze dieser Sprache zutrifft. Hier ist, was der SEP-Eintrag zur Selbstreferenz dazu sagt:

Tarski zeigte, dass das Lügnerparadoxon in jeder formalen Theorie formalisierbar ist, die sein Schema T enthält, und daher muss jede solche Theorie inkonsistent sein. Dieses Ergebnis wird oft als Tarskis Theorem über die Undefinierbarkeit der Wahrheit bezeichnet . Das Ergebnis ist im Grunde eine Formalisierung des Lügnerparadoxons innerhalb der Arithmetik erster Ordnung, erweitert um das T-Schema.

-1: Hat nicht Gödel gesagt, er habe das Paradox des Lügners in formale Logik übersetzt und nicht Tarski?
@MoziburUllah Ja, Gödel bedient sich auch des Lügnerparadoxons, aber das hat nichts mit meiner Antwort zu tun. Ich habe nicht gesagt, dass Tarski der einzige war, der es getan hat. Übrigens gibt es zwischen den Sätzen von Tarski und Gödel noch einige andere Verbindungen. Meine Antwort zitiert dazu auch die Stanford Encyclopedia of Philosophy. Ich weiß nicht, ob Sie andeuten, dass sie falsch sind, oder was. Aber dem kann ich hier wirklich nichts mehr hinzufügen.
Nein, aber es hat viel mit der Beziehung zwischen Goedel & Tarski zu tun. Laut Wikipedia-Eintrag zu Tarskis Undefinierbarkeitssatz über die Undefinierbarkeit arithmetischer Wahrheit bewies Goedel den Undefinierbarkeitssatz tatsächlich ein Jahr, bevor er 1931 seine Unvollständigkeitssätze tatsächlich bewies, und „lange bevor“ Tarski dasselbe 1933 bewies Liar's Paradoxon ist, wie ich es ausdrücke, irgendwie verdächtig. Es gibt Beispiele für unabhängige Entdeckungen ... aber es sieht so aus, als ob Tarski bereits durch Gödels Arbeit dazu geführt wurde.
@Eliran Danke für deine Antwort; aber wenn φ(x) keine atomare Formel sein muss, könnten wir dann nicht einige seltsame Ergebnisse beweisen? Das Diagonisierungslemma besagt: „Wenn eine Theorie T konsistent, praxiomatisiert und Q erweitert, dann gibt es einen Satz γ st T beweist γ⟺φ(⌜γ⌝)“. Wenn wir φ(x) als beliebiges Prädikat annehmen (muss nicht das Wahrheitsprädikat sein), dann scheint T sowohl γ⟺φ(⌜γ⌝) als auch γ⟺¬φ(⌜γ⌝) zu beweisen . Offensichtlich widerspricht dies der Annahme, dass T konsistent ist, aber dies scheint einfach aus dem Lemma zu folgen. Was mache ich falsch?
@Constantlyconfused Für jede Formel φ gibt es ein γ, so dass T γ⟺φ (⌜γ⌝) beweist, ja, aber es muss nicht für jedes φ dasselbe γ sein, was Sie annehmen.
@Eliran Ah ja natürlich, dumm ich! Vielen Dank
Wenn man genauer nachdenkt, ist es wirklich die Fixpunkt- Eigenschaft, die Tarskis Undefinierbarkeit der Wahrheit innerhalb der Theorien der Arithmetik erster Ordnung mit dem Lügnerparadoxon verbindet, die Selbstreferenz selbst ist strittig. Zum Beispiel: „Dieser Satz ist wahr.“ ist unbegründet, daher ist sein Wahrheitswert unentscheidbar, aber überhaupt nicht paradox (kein logisches Antimon) pro Kripke. Und dieser Satz ist eindeutig konsistent, da er nur als L⟺T_A(⌜L⌝) aus dem obigen Abschnitt von OP ausgedrückt werden kann.

Vielleicht finden Sie es lohnenswert, Yanofskys A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points durchzusehen , das im arxiv verfügbar ist und eine Darstellung von Lawveres 1969er Arbeit ist, in der er die Sprache der Kategorientheorie verwendete:

viele der klassischen Paradoxien und Unvollständigkeitstheoreme kategorisch zu beschreiben.

Einschließlich:

  1. Satz von Cantor
  1. Russells Paradoxon
  1. Die Nichtdefinierbarkeit der Erfüllbarkeit
  1. Tarskis Nichtdefinierbarkeit der Wahrheit
  1. Goedels erster Unvollständigkeitssatz

Beachten Sie, dass das erste Beispiel, der Satz von Cantor, der wohlbekannte klassische Satz ist, der das Diagonalisierungsargument verwendet, wonach die Kardinalität der ganzen Zahlen strikt kleiner als die Kardinalität des Kontinuums ist. Obwohl Tarski üblicherweise der Satz von der Nichtdefinierbarkeit der (arithmetischen) Wahrheit zugeschrieben wird, war es darüber hinaus Gödel, der ihn entdeckte, drei Jahre vor Tarski und tatsächlich bevor er seine Unvollständigkeitstheoreme entwickelte.

Meine Güte, ich mag die Kategorientheorie wirklich nicht, haha, dieser Kurs war eine der stressigsten Erfahrungen, die ich hatte. Aber so wie es aussieht, geht es in diesem Papier um eine zugrunde liegende Struktur über all dies? Darauf hat übrigens auch Graham Priest eingegangen und die zugrunde liegende Struktur Qualified Russell's Schema/Inclosure Schema genannt, die, wie der Name schon sagt, von Bertrand Russell stammt
@ Ständig verwirrt: Ja, es geht um die zugrunde liegende Struktur des aufgelisteten Theorems. Dies ist nützlich, da viele Autoren die Ähnlichkeit zwischen ihnen entdeckt haben, dies jedoch erst in Lawveres Arbeit explizit gemacht wurde. Yanofskys Artikel ist eine Darstellung und daher so geschrieben, dass er von einem breiten Publikum verstanden werden kann, das mathematisch ausgereift ist, während Lawveres Originalartikel für Spezialisten in Kategorientheorie geschrieben wurde. Ich verstehe nicht, warum Sie die Arbeit von Graham Priest in diesem Zusammenhang angesprochen haben. Seine Arbeit hat nichts mit dem zu tun, wovon ich spreche - und außerdem ...
@ ständig verwirrt: ... nichts mit dem zu tun, was Sie ursprünglich gefragt haben. Es ist ein Non-Sequiter, der die hier diskutierten Themen verwirrt.
@ständig verwirrt: Kannst du erklären, warum du das getan hast? Ich meine, welche Relevanz hat es?
Wenn es um die Ähnlichkeit zwischen ihnen allen geht, dann wurde dies wahrscheinlich bereits von Russell vor Lawvere diskutiert, wie von Priest vorgeschlagen.
@ Ständig verwirrt: Ich habe bereits erwähnt, dass "viele Autoren die Ähnlichkeit zwischen ihnen entdeckt haben", ohne sich die Mühe zu machen, sie aufzulisten. Die schwierige Arbeit bestand darin, dies in ein Theorem umzuwandeln, und dies erforderte die Erfindung einer neuen Sprache – der Kategorientheorie – obwohl sie nicht ausdrücklich für diesen Zweck erfunden wurde. Dass es dazu in der Lage ist, demonstriert seine Flexibilität. Da Sie an Priests Versuchen interessiert sind, diese Ähnlichkeit auch in rigorose Mathematik umzuwandeln, könnten Sie an diesem Artikel von Landini interessiert sein, in dem er ...
@ständig verwirrt: ... zeigt, dass "Russells Theorem nicht das Schema von Priest ist, und stellt die Anwendung von Priests Inclosure-Schema auf die Paradoxien der 'Definierbarkeit' in Frage". Allerdings hinter einer Paywall.
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