Die Beziehung zwischen dem Unruh-Effekt und dem Ehrenfest-Tolman-Effekt

Der Ehrenfest-Tolman-Effekt ist eine Art „Temperatur = Geschwindigkeit der Zeit“-Physik. Die Physik basiert auf dem Tötungsvektor$K^a$mit$|K|~=~\sqrt{g_{ab}K^aK^b}$. Temperatur ist dann$T|K|~=~const$. Diese Physik funktioniert dann für Raumzeiten, die Killing-Vektorfelder zulassen.

Um darüber nachzudenken, betrachten wir das Schwarzschild-Schwarze Loch mit$K^t\partial_t$ $=~\sqrt{1~-~r_s/r}$, mit$r_s~=~2GM/c^2$. Betrachten Sie nun den Gradienten der Temperatur$\nabla T~=$ $\frac{1}{2}|K|^{-1}$und das können wir sehen

$$\frac{\nabla T}{T}~=~\frac{1}{2}\frac{1}{1~-~r_s/r}\frac{r_s}{r^2}~=~g/c^2,$$ Wo $g$ist die Schwerkraft. Dies ist das gleiche Ergebnis wie das Ergebnis auf Seite 121 von Walds Buch. Damit gibt das Newtonsche Ergebnis für die Gravitation an $r~>>~r$.

Das Ergebnis$\frac{\nabla T}{T}~=~g/c^2$ist die Entfernung des Horizonts$d~=~g/c^2$. Wir können uns dieses thermodynamische Ergebnis als Ausdruck der Zeitdilatation vorstellen. Die Shannon-Khinchin-Formel$S~=~-k\sum_n\rho_nlog(\rho_n)$definiert den statistischen thermischen Zustand$\Omega$. Dies ist leicht zu erkennen, wenn$\rho_n~=~1/n$Dann

$$S~=~-k\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}log\frac{1}{n}~=~k~log(N),$$ Wo $N$ist der statistische Ensemblezustand $\Omega$. Für Observables $O~\in~\cal O$Wir definieren einen Fluss $\phi:{\cal O}~\rightarrow~{\cal O}$entsprechend $$\frac{d\phi(O)}{ds}~=~\{S,~O\}~=~\{O,~log(\Omega)\},$$ so dass $\Omega~=~e^{-H/kT}$. Die Evolutionsgleichung kann nun nach dem Hamiltonoperator geschrieben werden $H$mit $$\frac{d\phi(O)}{ds}~=~\{O,~log(\Omega)\}~=~\frac{1}{kT}\{O,~H\},$$ was uns das sagt $\frac{d}{ds}~=~\frac{1}{kT}\frac{d}{dt}$. Damit verbindet sich die Eigenzeit, die wir auch als thermische Zeit sehen, $s$mit einer Hamiltonschen Zeit $t$.

Der Unruh-Hawking-Effekt und die Tolman-Ehrenfest-Ergebnisse sind also eng miteinander verbunden. Beide beinhalten die Verbindung zwischen der allgemeinen Relativitätstheorie und der Temperatur. Das Tolman-Ehrenfest-Ergebnis verbindet dies mit der Idee der „Zeitgeschwindigkeit“.

Ich denke, dass es möglicherweise keine Möglichkeit gibt, den Unruh-Effekt (klassisch!) Aus dem Eherenfest-Tolman-Effekt abzuleiten.

Der Hauptansatz, den ich versucht habe, ist die Verwendung der Eherenfest-Tolman-Beziehung$T||ξ||=const$und wenden Sie es auf ein gleichmäßig beschleunigtes (WLOG, accleration$a$in x-Richtung) System. ein solches System kann durch Rindler-Koordinaten (beschleunigte Minkowski-Koordinaten) beschrieben werden,$\ ds^2=-a^2x^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$

Die Killing-Vektorfelder sind$\partial_t, \partial_y, \partial_z,$Und$y\partial_z-z\partial_y$, sowie andere (Erzeugung von Rotationen und Boosts).

Hier bleibe ich hängen - ich bin mir nicht sicher, wie ich rechnen soll$||ξ||=\sqrt{g_{ab}ξ^aξ^b}$. Ich würde mich sehr über Hilfe bei diesem Teil freuen.

Meine Inkompetenz ist jedoch nicht der Grund, warum ich glaube, dass es eine solche Ableitung nicht gibt – es gibt ein viel entscheidenderes Problem. Der Unruh-Effekt ergibt (in nicht-natürlichen Einheiten) einen Faktor von$\hbar,$nämlich$T=\frac{\hbar a}{2\pi c k_B},$und ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie dieser Faktor in einer Nicht-Quantenanalyse dieses Problems zum Tragen kommen wird.

Obwohl ich immer noch glaube, dass diese beiden Phänomene eng miteinander verwandt sind, glaube ich, dass es keine Ableitung gibt, die den Unruh-Effekt direkt aus dem Eherenfest-Tolman-Effekt ergibt.

EDIT: Ist mir klar$\hbar$kann nur ein Teil von const in der Ableitung sein, also frage ich mich wieder, ob ein Effekt vom anderen ableitbar ist. Ich denke tatsächlich, dass mein oben erwähnter Ansatz der richtige Ansatz sein könnte.