Die Beziehung zwischen der Höhe einer antiradialen Verbrennung am Apogäum

Die mathematische Beziehung ist die Bahngleichung

$$r={\ell^2\over m^2\gamma}{1\over1+e \cos{\theta}}$$

Zerlegung des Drehimpulses$\ell=mvr\sin{\alpha}$es kann ausgedrückt werden als

$$r={\gamma\,{(1+e \cos{\theta})}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Wo die Höhe der Apoapsis sein wird

$${\gamma\,{(1-e)}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Um die Auswirkungen herauszufinden, können wir analysieren, wie sich die Verbrennung in jeder Komponente ändert:

• Änderung des Winkels des Geschwindigkeitsvektors$\alpha$- wenn das Raumschiff aufsteigt, nimmt der Sinus des Winkels zu, wenn das Raumschiff absteigt, nimmt die Sinuskomponente ab. Die Änderung wird größer sein, wenn die Verbrennung im Vergleich zur Umlaufgeschwindigkeit relativ groß ist.
• Änderung (Erhöhung) der Geschwindigkeitskomponente$v$- Da eine antiradiale Verbrennung senkrecht zum ursprünglichen Geschwindigkeitsvektor ist, ist der Anstieg umso größer, je niedriger die Anfangsgeschwindigkeit ist (sowohl absolut als auch relativ).
• Exzentrizität$e=\sqrt{1+{2E\ell^2\over m^3\gamma^2}}$nimmt im Allgemeinen zu, wenn beim Abstieg antiradial brennt, und nimmt ab, wenn beim Aufsteigen brennt, da der Impulsterm dominiert. Wenn weder auf- noch absteigend, würde die Exzentrizität aufgrund der zunehmenden Geschwindigkeit leicht zunehmen.
  • Drehimpuls$\ell=mvr\sin{\alpha}$wird im Allgemeinen zunehmen, wenn sich das Schiff langsam in der Nähe der Apoapsis bewegt oder wenn das Schiff aufsteigt, andernfalls abnehmen, basierend auf der Analyse seiner Komponenten oben
  • orbitale Energie$E$ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie und nimmt mit der kinetischen Energie zu$mv^2/2$und wird aufgrund von zunehmen$v$zunehmend (je höher$v$ist, je größer die Energiezunahme ist), bleibt die potentielle Energie im Moment der Verbrennung unverändert
  • Beachten Sie das für elliptische Bahnen$E$ist negativ, also steigend$E$bedeutet Veränderung gegen Null, Erhöhung$\ell$reduziert$e$
• $\gamma$ist für einen bestimmten Körper konstant

Die Winkelkomponente ist die dominierende für Verbrennungen, die kleiner als die Umlaufgeschwindigkeit sind, außer wenn sich das Raumschiff horizontal bewegt (die Sinusfunktion ändert sich langsam um π / 2).

Die empirischen Ergebnisse scheinen dies zu unterstützen:

• Wenn das Raumschiff aufsteigt, senkt eine antiradiale Verbrennung die Apoapsis (geteilt durch einen größeren Sinus des Winkelgeschwindigkeitsvektors).
• Wenn das Raumschiff absteigt, hebt eine antiradiale Verbrennung die Periapsis an (geteilt durch einen kleineren Sinus des Winkelgeschwindigkeitsvektors).
• Wenn das Raumschiff horizontal fliegt, würde eine antiradiale Verbrennung die Apoapsis aufgrund zunehmender Exzentrizität (durch zunehmende Geschwindigkeit) leicht anheben.
• Die ersten beiden Effekte werden größer, wenn sich das Schiff langsamer bewegt (höher ist), da sich der Winkel stärker ändert. Dies ist in der Grafik deutlich zu erkennen.
• Ich bin mir nicht sicher, ob die dritte größer oder kleiner wird, wenn man sich langsamer bewegt, da einerseits die Geschwindigkeit stärker zunimmt, andererseits der Energiegewinn geringer ist, wenn man sich langsamer bewegt. Empirisch sehen sie ähnlich aus.

(Obwohl, fürs Protokoll, wenn Sie sich für die Apoapsis-Höhe interessieren, ist es am effizientesten, an der Periapsis prograd oder retrograd zu brennen.)