Die Planck-Konstante ℏℏ\hbar, der Drehimpuls und die Wirkung

Die Abmessungen von

1. die Planck-Konstante$\hbar$,
2. die Aktion$S$, und
3. der Drehimpuls,

werden durch die folgenden wichtigen Tatsachen eingeschränkt:

1. Ein konjugiertes Paar von zwei Observablen ist quantenmechanisch mit der Planck-Konstante verwandt$\hbar$über eine Heisenbergsche Unschärferelation .

2. Ein konjugiertes Paar von zwei Variablen ist klassischerweise mit der Aktion verbunden$S$über den Satz von Noether , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Hören Sie zB Richard Feynman ungefähr 50 Minuten in diesem YouTube-Video.

3. Die konjugierte Variable zu einem Drehimpuls ist ein Winkel (Winkelposition), der üblicherweise als dimensionslos behandelt wird.

Lassen Sie mich versuchen, mit anderen Worten zu antworten, aber mit dem gleichen Geist wie Qmechanic.

Das ist sicher kein Zufall$\hbar, S, \vec J$haben die gleichen Einheiten. Zuerst,$\hbar$ist das Quant des Drehimpulses oder das Quant der Wirkung, eine universelle Konstante, die die Stärke der Quanteneffekte bestimmt. Wenn Sie also eine dieser beiden Definitionen übernehmen, erklären Sie warum$\hbar$hat die gleichen Einheiten wie beide$S$oder$\vec J$(nur eine davon) und reduzieren die Frage auf die Frage, warum der Drehimpuls und die Wirkung die gleichen Einheiten haben.

Es ist nicht schwer zu verstehen, warum der Drehimpuls und die Aktion die gleichen Einheiten haben. Beide können geschrieben werden als$p\cdot x$, dimensional gesprochen. Der (Bahn-)Drehimpuls ist definiert als$\vec r \times P$; der Kommutator von$x,p$ist$xp-px=i\hbar$, das Sie vielleicht auch eingefügt haben, hat die Einheiten Position mal Momentum; und die Aktion hat die gleichen Einheiten, weil die Aktion die gleichen Einheiten wie die Lagrange-Zeit hat$Lt$das ist das gleiche wie die Einheiten der Hamiltonschen Zeiten Zeit$Ht$und weil$p\dot x$erscheint in der Differenz/Summe zwischen$L$und$-H$, in$L+H$, es ist klar, dass$Lt$muss Einheiten von haben$px$, zu.

Denn die Stärke von Quanteneffekten wird bestimmt durch$\hbar$das hat die gleichen Einheiten wie die Aktion$S$oder der Drehimpuls$\vec J$, daraus folgt, dass beide$S/\hbar$und$\vec J/\hbar$sind dimensionslos: Sie haben keine Einheiten.

Beide Tatsachen haben eine robuste und wichtige Erklärung in den Grundlagen der Quantenmechanik. Die Aktion geteilt durch die reduzierte Plancksche Konstante ist das, was im Exponenten in Feynmans Pfadintegral erscheint,

$${\mathcal A}_{i\to f} = \int {\mathcal D}\phi\cdot \exp(iS[\phi]/\hbar)$$ und die Exponenten müssen natürlich dimensionslos sein. Aus diesem Feynman-Ansatz können Sie bestimmen, dass die Konstante, die die Stärke von Quanteneffekten misst, dieselben Einheiten wie die Wirkung hat.

Analog kann man Ähnliches über den Drehimpuls sagen. Der Grund ist, dass die Betreiber$J_x/\hbar$und$J_y/\hbar$Kommutator haben

$$[\frac{J_x}{\hbar}, \frac{J_y}{\hbar}] = i \frac{J_z}{\hbar}$$ gleich einfach der letzten Komponente von $\vec J/\hbar$, ohne zusätzliche Koeffizienten. Diese drei Operatoren erzeugen also eine fehlerfreie $SU(2)$oder $SO(3)$„Lügenalgebra“ in der einheitslosen mathematischen Normalisierung. (Nun, Mathematiker würden auch die einschließen $i$in jeden Generator, so dass es sogar keinen Vorfaktor von geben würde $i$auf der rechten Seite.) Aus diesem Grund sind die Eigenwerte von $J_z/\hbar$sind quantisiert: Sie sind zwangsläufig Vielfache von $\hbar/2$. Das dürfen wir sagen $\hbar/2$ist das Elementarquant des Drehimpulses. (Der Bahndrehimpuls ist ein Vielfaches von $\hbar$ohne Faktor 1/2.)

Nur mit etwas Kenntnis des Satzes von Noether, der Erhaltungssätze und Symmetrien verknüpft, hätte man erraten können – bevor er die vollständige Quantenmechanik gelernt hat – dass der Drehimpuls mit Rotationsgeneratoren zusammenhängen sollte. Da Drehwinkel dimensionslos sind, müssen auch die Generatoren dimensionslos sein, was bedeutet, dass die Quantenmechanik eine Konstante enthalten muss, deren Einheiten die gleichen sind wie die des Drehimpulses, damit man dimensionslos konstruieren kann$\vec J/\hbar$aus ihnen.

Es ist etwas schwierig, einen "direkteren" Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Wirkung zu finden, obwohl sie die gleichen Einheiten haben. Insbesondere wird der Drehimpuls quantisiert, ein Vielfaches von$\hbar/2$wie ich erwähnt habe. Im Gegenteil, die Aktion$S$ist kontinuierlich. Wie das Feynman-Pfadintegral zeigt, ist die Aktion$S$ist in der Quantenmechanik eigentlich nur bis zu Verschiebungen um Vielfache von sinnvoll$2\pi\hbar$. Solche Verschiebungen verändern die Exponentialfunktion nicht. Der Drehimpuls lässt also nur ganzzahlige (oder halbzahlige) Werte zu; andererseits kümmert sich die Aktion nur um die Bruchteile! Die Aktion und der Drehimpuls sind also trotz ihrer identischen Einheiten in keiner Weise wirklich "das Gleiche". Schließlich ist der Drehimpuls ein Pseudovektor (ein bestimmter Satz von Erhaltungsgrößen in rotationssymmetrischen Theorien), während die Aktion der ultimative Raumzeit-Skalar ist, der eine Theorie und Invariante unter allem definiert.

Obwohl die bisherigen Antworten auf diese Fragen sehr interessant und aufschlussreich sind, halte ich Ihre Frage aus analytischer Sicht für nicht ganz sinnvoll.

In einer mathematischen Struktur könnte man argumentieren, dass es keine "Zufälle" gibt, alles hängt durch die fundamentale Basis zusammen. Jetzt in der Praxis erklären die Antworten, warum "$\hbar$“, „Winkelimpuls“ und „Aktion“.$S$" verwandt sind. Aber wenn "Masse$m$“, „Position$x$“ und „Schwung$p$" die gleichen Einheiten hätten, dann gäbe es auch dafür eine Erklärung, denn das sind Teile einer physikalischen Theorie, mathematisch ausgedrückt.

Wenn Sie also fragen: "Gibt es etwas Interessantes darüber zu sagen, dass ℏ, der Drehimpuls und die Wirkung die gleichen Einheiten haben, oder ist das ein reiner Zufall?" (und Sie tun es), dann ist die Antwort "Ja.", optional gefolgt von einer Ausarbeitung der mathematischen Struktur der Theorie, einer Suche nach einem gemeinsamen Nenner.