Die Aktion der klassischen Mechanik wird nach unten durch die Planck-Konstante begrenzt

Ich habe mich über die Dimensionen der Planck-Konstante gewundert ( H ) und die Dimensionen der Aktion, die offensichtlich gleich sind. Dann führte mich ein Gedankengang zu dem Schluss, dass die Unschärferelation wie folgt formuliert werden kann: „Die minimale Handlung, die erforderlich ist, um eine Beobachtung zu machen, ist ℏ / 2 ".

Auch das Prinzip der kleinsten Wirkung ist das maßgebliche Gesetz für die klassische Dynamik, und das Unbestimmtheitsprinzip ist eine Folge von Kommutierungsbeziehungen, die als Postulat in der Theorie der Quantenmechanik angegeben sind.

Meine Frage ist nun, ob dieses Postulat der Quantenmechanik als Begrenzung des Handelns interpretiert/bewiesen werden kann, dh | S | ≥ k H oder umgekehrt, dh | S | ≥ k H ⟹ Δ X Δ P ≥ ℏ / 2 , Wo k ist eine positive reelle Zahl.

Ich habe nicht gesehen, dass dies so interpretiert wurde. Dies könnte also eine triviale Interpretation sein. Wenn dies der Fall ist, verweisen Sie mich bitte auf die entsprechende Referenz. Wenn dies nicht der Fall ist, kann dies Konsequenzen für die Interpretation von Maßnahmen, das Unsicherheitsprinzip und QM im Allgemeinen haben. Helfen Sie also bitte mit, diese Beziehung zu beweisen oder zu widerlegen.

Dies sind einige der Beobachtungen, die eine Antwort ansprechen kann:

  1. Das Prinzip der kleinsten Wirkung führt zu Feynmans Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik.
  2. Das Prinzip der kleinsten Wirkung führt zur klassischen Hamilton-Mechanik, die durch die Poisson-Klammer-Notation ausgedrückt werden kann, die direkt Kommutatoren in QM entspricht.
  3. Klassischerweise sind für SHM kinetische Energie und potentielle Energie über einen Zeitraum gleich, so beiläufig kann es scheinen, dass die über einen Zeitraum ergriffene Aktion 0 ist, aber bei genauerer Betrachtung ist die Lagrange-Funktion eine Funktion von q und Q ˙ die der Unschärferelation folgen, sodass das Integral ungleich Null sein kann.

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Angesichts des Mangels an Antworten muss ich fragen: Ist es eine Frage, die es wert ist, weiter untersucht zu werden? Wenn ja, kann jemand auf eine Autorität in den Grundlagen der Quantenphysik verweisen? Ich bin derzeit Amateurphysiker, arbeite alleine und weiß nicht, wie ich weiter vorgehen soll.

Ich bezweifle, dass Sie eine solche Beziehung finden können. Der absolute Wert der Handlung ist keine besonders bedeutungsvolle Größe. Ich kann immer eine Konstante hinzufügen v 0 zu meiner potenziellen Energie und dies wird mein Handeln verschieben − v 0 ( T 1 − T 0 ) , ohne den Pfad der geringsten Wirkung zu ändern. Das bedeutet, dass ich die Aktion so klein machen kann, wie ich möchte, ohne etwas an der Physik zu ändern.
Ich habe noch nie gesehen, dass die Unschärferelation auf diese Weise ausgedrückt wird, aber ich sehe nichts Falsches an Ihrer Interpretation. Ob es trivial ist oder nicht, überlasse ich anderen
Außerdem ist die Aktion begrenzt durch | S | ≤ ( T 1 − T 0 ) M A X ( | L | ) , also kann ich meine Aktion sehr klein machen, indem ich einfach ein sehr kurzes Zeitintervall betrachte. Was Sie sagen, würde dann implizieren, dass es keine klassische Grenze für ausreichend kurze Zeiten gibt. Ich glaube jedoch nicht, dass dies stimmt. Die Energie-Zeit-Unbestimmtheitsbeziehung kann aufgrund des Fehlens eines Zeitoperators in der QM nicht auf die gleiche Weise behandelt werden wie die Positions-Impuls-Beziehung, und ich habe noch nie eine Behandlung der klassischen Grenze gesehen, die auf offensichtliche Weise von den beteiligten Zeitskalen abhing.
@BySymmetry "Es gibt keine klassische Grenze für ausreichend kurze Zeiten" ist das nicht im Allgemeinen der Fall, wenn wir infinitesimale Zeit nehmen? Außerdem verlange ich nicht, das Energie-Zeit-Unschärfe-Prinzip genauso zu behandeln wie das Positions-Impuls-Prinzip. Aber verallgemeinern Sie die Unschärferelation auf diese Weise, um zu sagen, dass die Aktion selbst durch die Planck-Konstante begrenzt ist. Aber Ihr erster Kommentar stellt die Interpretation vor ernsthafte Probleme, vielleicht kann es behoben werden, indem der Nullpunkt des Potenzials festgelegt wird.
@prateek Es ist mir sicherlich nicht offensichtlich. Wenn ich ein halbwegs lokalisiertes Wellenpaket mit irgendeiner mittleren Position und Impuls habe, so dass ich es mit einem klassischen Teilchen approximieren kann, dann habe ich kurze Zeit später ein sehr ähnliches Wellenpaket, das ich vermutlich noch mit einem klassischen Teilchen approximieren kann Teilchen und dessen durchschnittlicher Position und Impuls sich nach dem Satz von Ehrenfest gemäß den Newtonschen Gesetzen entwickelt haben. Diese Frage, was in kurzen Zeiten passiert, läuft darauf hinaus, wie Sie die Energie-Zeit-Unschärferelation interpretieren

Antworten (1)

Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung basiert auf einer Beziehung wie der, die Sie diskutieren

∮ P → ⋅ D Q → = N H , N ∈ N
wobei das Integral über einen geschlossenen Pfad im Phasenraum verläuft, N ist eine ganze Zahl, und H ist die Plancksche Konstante. Die linke Seite hat Aktionseinheiten.

Aus heutiger Sicht ergibt sich diese Beziehung als Folge der WKB-Näherung (bis auf eine kleine Korrektur wo N → N + 1 / 2 ). Beachten Sie jedoch, dass dieser Ansatz nur für gebundene Systeme gilt.

Im Allgemeinen gibt es in der Quantenmechanik keine Begrenzung der Wirkung. Beispielsweise gibt es bei dem Pfadintegralansatz einen Beitrag von allen möglichen Pfaden, gewichtet mit e ich S / ℏ , Wo S ist die Aktion des Pfades, und es gibt keine Begrenzung für die Aktion.

Ich möchte die Unschärferelation nicht neu definieren, nur um sie etwas anders zu interpretieren. Auch in Bezug auf die Aktion sage ich, wenn wir den absoluten Wert der Aktion als eine Quantenobservable behandeln, folgt sie dann einer Mindestgrenze? Beim Pfadintegralansatz gibt es keine Wirkungsbegrenzung, aber es wird nirgendwo ausdrücklich erwähnt / festgelegt, dass das Wirkungsquantum beliebig nahe an 0 herankommen kann.
@prateek Ich weiß nicht genau, was Sie vorschlagen, aber ich sehe keinen Weg, wie es funktionieren könnte. Sagen wir, wir wollen ⟨ S ⟩ > k ℏ , Wo S ist für einige der "Aktionsoperator". k . Das kann nicht pauschal stimmen. Denken Sie an ein attraktives quadratisches Brunnenpotential. Stellen Sie sich ein Teilchen mit großem Impuls vor, also P 2 / 2 M > v , dann ist die Lagrange-Funktion positiv und kann beliebig klein werden. Betrachten Sie dann gebundene Zustände, die per Definition haben v < P 2 / 2 M , und so haben negative Lagrangian. Wir können das Potential so einstellen, dass der am höchsten liegende gebundene Zustand negativ und so nahe bei Null ist, wie wir wollen.
Ich habe gerechnet ⟨ | S | ⟩ ich . e . ∫ ⟨ | L | ⟩ D T , ergibt sich der erwartete Wert des Absolutwerts der Lagrange-Funktion im Grundzustand des harmonischen Oszillators ℏ ω 2 / π e die kleiner als die Grundzustandsenergie ist ℏ ω / 2 . Ich schlage etwas in dieser Richtung vor.
@prateek Ich ermutige Sie, es zu erkunden und zu sehen, wohin es führt, aber im Moment sehe ich keinen Grund dafür ⟨ | S | ⟩ sollte eine untere Schranke haben.
Setzen Sie beispielsweise in der 1D-Quantenmechanik ein freies Teilchen in ein Gaußsches Wellenpaket mit Impuls P . Dann sollte der erwartete Wert der Aktion ungefähr sein P 2 T / 2 M Wo T ist die Beobachtungszeit. Für fest T , du kannst nehmen P so klein zu sein, wie Sie möchten, und daher die Aktion so klein zu machen, wie Sie möchten.
Die Quantität P 2 T / 2 M muss größer sein als ℏ / 2 wegen Energie-Zeit-Unsicherheit. Und für ein freies Teilchen sind Lagrangein und Hamiltonian gleich, also sollte dies für beide gelten.
@Prateek Das Δ E Δ T Die Unsicherheitsbeziehung ist subtiler als die anderen und trifft hier nicht direkt zu. Beispielsweise kann sich ein freies Teilchen im Impuls in einem Delta-Funktionszustand befinden (Null-Unsicherheit in der Energie), und da der Impuls für ein freies Teilchen erhalten bleibt, ist dies ein stationärer Zustand. Also in diesem Fall Δ E = 0 , Und T kann beliebig lang oder kurz sein.
eigentlich sorry, das ist mir aufgefallen Δ E Δ T Unsicherheitsbeziehung relevant. Für Δ E = 0 , wir kennen die Energie genau, also ist der Zustand ein stationärer Zustand, also ist die Lebensdauer unendlich. Dies hindert uns jedoch nicht an der Einnahme T , die Zeit, über die wir die Aktion integrieren, so lang oder so kurz sein, wie wir wollen. Außerdem der tatsächliche Wert der Energie E kann so groß oder so klein sein, wie wir wollen. So können wir leicht einen durchschnittlichen Aktionswert von vereinbaren ≪ ℏ durch Berechnen der Aktion für ein freies Teilchen über ein Intervall T mit Energie E so dass E T ≪ ℏ .
Die Aktion der klassischen Mechanik wird nach unten durch die Planck-Konstante begrenzt
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