Hamiltonsches Prinzip der stationären Wirkung nur aus der Unitarität in der Quantenmechanik ableiten?

In dieser Frage möchte ich eine Ableitung von Hamiltons Prinzip der stationären Wirkung geben, und meine Frage an die Community wäre, ob mein Argument fehlerhaft ist . Das System, das ich betrachten möchte, ist (der Einfachheit halber) ein Teilchen, das sich in einer Dimension bewegt, also kann ich an diesem Teilchen seine Position x beobachten. Für eine quantenmechanische Behandlung gehe ich davon aus, dass sich das System in einer Überlagerung vieler Zustände befinden wird, und daher ist der Weg zu gehen:

Annahme : Das Beobachtbare$X$wird durch einen Operator repräsentiert$\hat{X}$Einwirken auf einen geeigneten Hilbert-Raum über den komplexen Zahlen. Ein Zustand des Systems ist ein Vektor (dessen Norm ist$1$) in diesem Hilbert-Raum und seine Zerlegung in Eigenzustände des Operators$\hat{X}$gibt die Wahrscheinlichkeiten für die Messung der Eigenwerte des Operators an.

Auch eine Vermutung? Da bin ich mir nicht sicher: Da wir die Wahrscheinlichkeit beibehalten wollen, benötigen wir die zeitliche Evolution des Operators$\hat{X}$einheitlich sein:$\dot{\hat{X}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{X}]$, mit einem noch zu bestimmenden Operator$\hat{H}$. Ich bin mir nicht sicher, ob dies eine Annahme ist oder nicht, da die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten bleiben muss. Da ich hiermit behaupte, dass Zustände in der Zeit stationär sind, während Operatoren Zeitentwicklung erfahren, bin ich im Heisenberg-Bild, Operatoren bewegen sich in der Zeit, Zustände nicht.

Definition einer anderen Observablen (die sich später als ähnliche Eigenschaften dessen herausstellen wird, was wir gewöhnlich „Impuls“ nennen): Gegeben die Observable$\hat{X}(t)$, wir definieren$\hat{F}$als Generator von Übersetzungen von$X$, was bedeutet, dass es zu jeder Zeit das halten sollte$[\hat{X},\hat{F}] = i\hbar$Und$\dot{\hat{F}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{F}]$.

Nach dieser Definition$F$erzeugt infinitesimale c-Zahl-Variationen von$X$:$\hat{X}'(t) = \hat{X}(t) + \delta X(t) = \hat{X}(t) + \frac{i}{\hbar}[\hat{F}(t)\delta X(t), \hat{X}(t)]$. Gleichzeitig,$-\hat{X}(t)$wird der Generator von infinitesimalen c-Zahl-Variationen von sein$\hat{F}$. Wir können schreiben$\hat{H}(t) = \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}, t)$(Ohne noch eine explizite Formel anzugeben, könnte die Abhängigkeit überhaupt keine Abhängigkeit sein).

Nun nehme ich eine Variation der Menge an$\dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F})$. Damit meine ich

$$\delta L = \dot{(\hat{X} + \delta X)} (\hat{F}+\delta F) - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}+\delta X, \hat{F}+ \delta F) - (\dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}))$$ Einige Berechnungen durchführen und verwenden $\hat{\tilde{H}}(\hat{X}+\delta X, \hat{F})- \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F})= -\delta X \dot{\hat{F}}$(und das gleiche für $F$), kommen wir zu: $$\delta \hat{L}(t) = \dot{\delta X} \hat{F} + \delta X \dot{\hat{F}} = \frac{d}{dt} ( \delta X \hat{F} )$$

Wählen$\delta X(t_1) = \delta X(t_2) = 0$, kommen wir zu:

$$\int_{t_1}^{t_2} \delta L(t) = \delta X(t_2) \hat{F}(t_2) - \delta X (t_1) \hat{P}(t_1) = 0$$ Oder in seiner vollständigen Form geschrieben: $$\delta \int_{t_1}^{t_2} \dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}) = 0$$ Wo $\delta$bedeutet Variation der Operatoren $\hat{X}$Und $\hat{F}$durch c-Zahl Vielfache von $\mathbb{1}$, und die Variation von $\hat{X}$soll zeitweise 0 sein $t_1$Und $t_2$. Das ist genau das Prinzip der stationären Aktion mit einer noch unbekannten Menge $F$innen.

Dann mit$\frac{\partial \hat{\tilde{H}}}{\partial \hat{F}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{\tilde{H}}, \hat{X}] = \dot{\hat{X}}$, kann man eine Legendre-Transformation durchführen$F \rightarrow \dot{X}$, und gelangt zum gleichen Prinzip, aber formuliert für eine Lagrange-Funktion, die von abhängt$X$,$\dot{X}$, und (mögliche) höhere Ableitungen.
Ist eines dieser Argumente ungültig? Habe ich weitere Annahmen als die hier aufgeführten getroffen?