Die Replikatorgleichung vs. die Lotka-Volterra-Gleichung

Question

Die Replikatorgleichung vs. die Lotka-Volterra-Gleichung

Biologie
Ökologie
Evolution
natürliche Auslese
Theoretische Biologie
Evolutionäre Spieltheorie

falsch

Hintergrund

Die Replikatorgleichung mit $n$ Strategien ergibt sich aus der Differentialgleichung:

{\dot{x}}_{ich} = x_{ich} (\sum_{j = 1}^{n} a_{ich j} x_{j} - ϕ) ich = 1, \dots, n

$\begin{equation} \dot x_{i} = x_{i} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} - \phi \right) \qquad i = 1, \ldots, n \end{equation}$ wo

x_{i}

$x_i$ ist die Frequenz der Strategie

i

$i$ ,

A = [a_{i j}]

$A=[a_{ij}]$ ist die Auszahlungsmatrix, und

ϕ

$\phi$ ist die durchschnittliche Fitness der Bevölkerung. Im Grunde sagt die Replikatorgleichung die Steigerungsrate der Strategie aus

i

$i$ (dh,

{\dot{x}}_{i} / x_{i}

$\dot x_i/ x_i$ ) ist der Unterschied zwischen der Fitness von

i

$i$ (dh,

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}

$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}$ ) und die durchschnittliche Fitness

ϕ

$\phi$ der gesamten Bevölkerung.

Die Lotka-Volterra-Gleichung mit $n-1$ Art ist:

{\dot{j}}_{ich} = j_{ich} (r_{ich} + \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{ich j} j_{j}) ich = 1, \dots, n - 1

$\begin{equation} \dot y_{i} = y_{i} \left(r_{i} + \sum_{j=1}^{n-1} b_{ij}y_{j}\right) \qquad i=1, \ldots , n-1 \end{equation}$ wo

y_{i}

$y_i$ ist der Artenreichtum

i

$i$ ,

r_{i}

$r_i$ die intrinsische Wachstumsrate und

b_{i j}

$b_{ij}$ beschreibt, wie die Art

i

$i$ und

j

$j$ interagieren ( Wiki-Eintrag zum Lotka-Volterra eqn ).

Laut Nowaks Buch Evolutionary Dynamics sind diese beiden Gleichungen einander äquivalent (dasselbe Ergebnis erscheint in Hofbauer und Sigmunds Evolutionary Games and Population Dynamics ). Dies ist ein ordentliches Ergebnis, weil es zeigt, dass Ergebnisse in der Ökologie, die auf der Lotka-Volterra-Gleichung basieren, eine spieltheoretische Interpretation haben und umgekehrt.

Frage

Dies würde bedeuten, dass die Replikatorgleichung für zwei Strategien (z. B. das Hawk-Dove-Spiel) einer einzelnen Art entspricht, die unter der Lotka-Volterra-Gleichung mit sich selbst interagiert. Wie kann das sein? Die Replikatorgleichung würde die Häufigkeit von zwei Strategien in der Population beschreiben, aber die äquivalente Lotka-Volterra-Gleichung würde die Entwicklung einer einzelnen und undifferenzierten Population beschreiben. Mein Problem liegt nicht so sehr im Beweis der Äquivalenz zwischen diesen beiden Gleichungen (Hofbauer und Sigmund geben in ihrem Buch einen Beweis dieser Äquivalenz), sondern in der Interpretation der Äquivalenz zwischen den beiden Gleichungen.

Remi.b

Können Sie bitte alle Parameter in beiden Gleichungen definieren?

falsch

Es tut uns leid. Ich habe gerade eine Beschreibung der Parameter hinzugefügt.

Remi.b

Es wäre toll, wenn man diese Gleichheit zwischen den beiden Modellen bereits beweisen könnte. Hat M. Nowak auf seine Behauptung Bezug genommen? Haben Sie auch Referenzen für den Replikator und die Lotka-Volterra-Gleichungen? Die LV-Gleichung erscheint mir etwas seltsam. Es stimmt nicht ganz mit dem überein, was ich im Wiki gefunden habe . Außerdem fühlt es sich seltsam an, darüber zu sprechen

n - 1

$n-1$ Arten, anstatt alle zu ersetzen

n - 1

$n-1$ , durch

n

$n$ in die Gleichung ein und mache sie gültig für

n

$n$ Spezies. +1

falsch

Nowak bezieht sich auf dieses Ergebnis in seinen "Evolutionary Dynamics", aber der Beweis erscheint in Hofbauer & Sigmunds "Evolutionary Games and Population Dynamics". In Bezug auf die LV-Gleichung verstehe ich, dass Nowak sich auf die verallgemeinerte Version dieser Gleichung bezieht und nicht auf die, die zur Untersuchung des Wettbewerbs zwischen Arten verwendet wird. Ich könnte dem Beweis folgen, aber wie Sie finde ich es immer noch sehr seltsam, dass wir ein spieltheoretisches Modell damit abbilden

n

$n$ Strategien zu einer LV-Gleichung mit

n - 1

$n-1$ Spezies. Es ist einer dieser Fälle, in denen Sie die Mathematik verstehen, aber Sie können nicht ganz verstehen, was vor sich geht.

Antworten (1)

Die Replikatorgleichung vs. die Lotka-Volterra-Gleichung

Können Sie bitte alle Parameter in beiden Gleichungen definieren?
Es tut uns leid. Ich habe gerade eine Beschreibung der Parameter hinzugefügt.
Es wäre toll, wenn man diese Gleichheit zwischen den beiden Modellen bereits beweisen könnte. Hat M. Nowak auf seine Behauptung Bezug genommen? Haben Sie auch Referenzen für den Replikator und die Lotka-Volterra-Gleichungen? Die LV-Gleichung erscheint mir etwas seltsam. Es stimmt nicht ganz mit dem überein, was ich im Wiki gefunden habe . Außerdem fühlt es sich seltsam an, darüber zu sprechen $n-1$ Arten, anstatt alle zu ersetzen $n-1$ , durch $n$ in die Gleichung ein und mache sie gültig für $n$ Spezies. +1
Nowak bezieht sich auf dieses Ergebnis in seinen "Evolutionary Dynamics", aber der Beweis erscheint in Hofbauer & Sigmunds "Evolutionary Games and Population Dynamics". In Bezug auf die LV-Gleichung verstehe ich, dass Nowak sich auf die verallgemeinerte Version dieser Gleichung bezieht und nicht auf die, die zur Untersuchung des Wettbewerbs zwischen Arten verwendet wird. Ich könnte dem Beweis folgen, aber wie Sie finde ich es immer noch sehr seltsam, dass wir ein spieltheoretisches Modell damit abbilden $n$ Strategien zu einer LV-Gleichung mit $n-1$ Spezies. Es ist einer dieser Fälle, in denen Sie die Mathematik verstehen, aber Sie können nicht ganz verstehen, was vor sich geht.

Daniel Weissmann · Answer 1

Der entscheidende Punkt ist, dass die erste Gleichung Frequenzen beschreibt , dh $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ , also gibt es nur $n-1$ Freiheitsgrade. Zum Beispiel, wenn $n=2$ (wie in Hawk-Dove) können Sie den Zustand des Systems vollständig mit just beschreiben $x_1$ , Weil $x_2$ ist nur $x_2=1-x_1$ . Diese Einschränkung wird durch Anpassen erzwungen $\phi$ .

Um das Lotka-Volterra-Modell in die erste Gleichung umzuwandeln, definieren Sie $x_i\equiv y_i/\sum_j y_j$ .

Die Replikatorgleichung vs. die Lotka-Volterra-Gleichung

falsch

Remi.b

falsch

Remi.b

falsch

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Daniel Weissmann

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