Die Rolle der Strenge [geschlossen]

Strenge Argumente sind der Computerprogrammierung sehr ähnlich – Sie müssen einen Beweis schreiben, der (im Prinzip) letztendlich in einem formalen System ausgeführt werden kann. Das ist nicht einfach und erfordert das Definieren vieler Datenstrukturen (Definitionen) und das Schreiben vieler Subroutinen (Lemmata), die Sie immer wieder verwenden. Dann beweist man nebenbei viele Ergebnisse, von denen nur einige von allgemeinem Nutzen sind.

Diese Tätigkeit ist äußerst aufschlussreich, aber sie ist zeitraubend und mühsam und erfordert viel Zeit und Sorgfalt. Strenge Argumente führen auch viele pedantische Unterscheidungen ein, die für die Mathematik äußerst wichtig sind , aber in den Fällen, mit denen man sich in der Physik befasst, nicht so wichtig sind.

In der Physik hat man nie genug Zeit, und wir müssen immer nur ein gerade so genaues Verständnis der Mathematik haben, das möglichst schnell an die nächste Generation weitergegeben werden kann. Oft bedeutet dies, dass Sie die volle Strenge aufgeben und notationale Abkürzungen und ungenaue Terminologie einführen, die es schwierig machen, das Argument rigoros umzuwandeln.

Einige der Argumente in der Physik sind jedoch reine Magie. Für mich ist der Nachbautrick das beste Beispiel. Wenn dies jemals eine rigorose Version bekommt, werde ich verblüfft sein.

1) Was sind die wichtigsten und ältesten Einsichten (Begriffe, Ergebnisse) aus der Physik, denen noch strenge mathematische Formulierungen/Beweise fehlen?

Hier sind alte Probleme, die von einer gründlichen Analyse profitieren könnten:

• Mandelstams Doppeldispersionsbeziehungen: Die Streuamplitude für 2-Teilchen-zu-2-Teilchen-Streuung kann als Integral über die imaginäre Diskontinuität analytisch entwickelt werden$\rho(s)$im Parameter s, und dann diese Diskontinuität$\rho(s)$kann als Integral über den t-Parameter geschrieben werden, was eine doppelte Diskontinuität ergibt$\rho(s,t)$Wenn Sie den umgekehrten Weg gehen, erweitern Sie zuerst die Diskontinuität in t und dann in s, Sie erhalten die gleiche Funktion. Warum ist das so? Es wurde von Mandelstam aus der Störungstheorie argumentiert, und es gab einige Arbeiten in den 1960er und frühen 1970er Jahren, aber es wurde meines Wissens nie gelöst.
• Die älteste, Jahrhunderte alte: Ist das (newtonsche, kometen- und asteroidenfreie) Sonnensystem für alle Zeiten stabil? Dies ist ein berühmter. Strenge Grenzen, wo die Integrierbarkeit versagt, werden helfen. Das KAM-Theorem könnte die bestmögliche Antwort sein, aber es beantwortet die Frage nicht wirklich, da Sie nicht wissen, ob die planetaren Störungen groß genug sind, um zu einer Instabilität für 8 Planeten, einige große Monde plus Sonne, zu führen.
• Statistische Kontinuumsmechanik: Was ist ein thermodynamisches Ensemble für ein Kontinuumsfeld? Was ist die Kontinuumsgrenze einer statistischen Verteilung? Was sind hier die kontinuierlichen statistischen Feldtheorien?
• Was sind die generischen topologischen solitonischen Lösungen für klassische nichtlineare Feldgleichungen? Wie findet man bei einer klassischen Gleichung die möglichen topologischen Solitonen? Können sie alle kontinuierlich aus gegebenen Anfangsdaten generiert werden? Betrachten Sie als spezifisches Beispiel das Sonnenplasma --- gibt es lokalisierte magneto-hydrodynamische Solitonen?

Hier gibt es eine Unmenge von Problemen, aber meine Vorstellungskraft versagt.

2) Das Bemühen um rigorose mathematische Erklärungen, Formulierungen und Beweise für Begriffe und Ergebnisse aus der Physik wird hauptsächlich von Mathematikern übernommen. Was sind Beispiele dafür, dass dieses Unterfangen der Physik selbst zugute kam?

Es gibt ein paar Beispiele, aber ich denke, sie sind selten:

• Penroses rigoroser Beweis für die Existenz von Singularitäten in einer geschlossenen eingeschlossenen Oberfläche ist das kanonische Beispiel: Es war ein rigoroses Argument, das von den Ideen der Riemannschen Geometrie abgeleitet wurde, und es war äußerst wichtig, um zu klären, was in Schwarzen Löchern vor sich geht.
• Quasi-periodische Kacheln, die auch mit Penrose in Verbindung gebracht werden, tauchten zuerst in der Arbeit von Hao und Wang in reiner Logik auf, wo sie zeigen konnten, dass eine geeignete Kachelung mit komplizierten übereinstimmenden Kanten eine vollständige Berechnung durchführen konnte. Die Anzahl der Kacheln wurde reduziert, bis Penrose nur noch 2 ergab, und schließlich entdeckten Physiker Quasikristalle. Das ist spektakulär, denn hier beginnt man im esoterischsten nicht-physikalischen Teil der reinen Mathematik und landet schließlich bei den praxisnahsten experimentellen Systemen.
• Kac-Moody-Algebren: Diese tauchten halb in der Mathematik, halb in der frühen Stringtheorie auf. Die Ergebnisse wurden in den 1980er Jahren physisch, als sich die Menschen für Gruppenverteilermodelle zu interessieren begannen.
• Die ADE-Klassifizierung aus der Lie-Gruppentheorie (und der gesamten Lie-Gruppentheorie) in der Mathematik ist in der modernen Physik unerlässlich. Weiter zurückblickend erhielt Gell-Mann die SU(3)-Quarksymmetrie durch die Verallgemeinerung des Isospins in der reinen Mathematik.
• Die Obstruktionstheorie war wesentlich für das Verständnis, wie topologische 3D-Feldtheorien formuliert werden können (dies war das Thema einer kürzlich sehr interessanten Frage), die im fraktionierten Quanten-Hall-Effekt Anwendung finden. Dies ist eine sehr abstrakte Mathematik, die mit der Laborphysik verbunden ist, aber nur bestimmte einfachere Teile der allgemeinen mathematischen Maschinerie verwendet werden.

3) Was sind Beispiele dafür, dass das Beharren auf Strenge den Fortschritt in der Physik verzögerte?

Das ist leider schon mehrfach vorgekommen.

• Statistische Mechanik: Das Fehlen eines rigorosen Beweises der Boltzmann-Ergodizität verzögerte die Akzeptanz der Idee des statistischen Gleichgewichts. Die rigorosen Argumente waren fehlerhaft – zum Beispiel ist es leicht zu beweisen, dass es in endlichen Volumen keine Phasenübergänge gibt (da die Boltzmann-Verteilung analytisch ist), also wurde dies als Schlag gegen die Boltzmann-Theorie angesehen, da wir Phasenübergänge sehen. Sie könnten auch allen möglichen Unsinn über das Mischen von Entropie beweisen (was durch den korrekten Umgang mit der klassischen Ununterscheidbarkeit behoben wurde). Da es keinen Beweis dafür gab, dass Felder in ein thermisches Gleichgewicht kommen würden, glaubten einige Leute, dass Schwarzkörperlicht nicht thermisch sei. Dies verzögerte die Akzeptanz von Plancks Theorie und Einsteins. Die statistische Mechanik wurde bis zur Ising-Modelllösung von Onsager im Jahr 1941 nicht vollständig akzeptiert.
• Pfadintegrale: Dies ist das bekannteste Beispiel. Diese wurden von einigen Physikern sofort in den 1950er Jahren akzeptiert, obwohl der Formalismus keineswegs vollständig war, bis Candlin 1956 Grassman-Variablen formulierte. Nach diesem Punkt hätten sie zum Standard werden können, aber sie taten es nicht. Der Formalismus hatte den schlechten Ruf, falsche Ergebnisse zu liefern, vor allem, weil die Leute sich mit dem Mangel an Strenge unwohl fühlten, so dass sie der Methode nicht vertrauen konnten. Ich hörte einen namhaften Physiker in den 1990er Jahren beklagen, dass das Phasenraumpfadintegral (mit p und q) unmöglich korrekt sein könnte, weil p und q nicht kommutieren, und im Pfadintegral tun sie es, weil sie klassische Zahlen sind ( nein, eigentlich nicht - ihr Wert in einer Einfügung hängt diskontinuierlich von ihrer zeitlichen Reihenfolge in der richtigen Weise ab). Es war
• Konstruktion der Quantenfeldtheorie: Die rigorosen Methoden der 1960er Jahre bauten einen Werkzeugkasten komplizierter Verteilungsmethoden und Störungsreihen-Wiederaufnahme auf, was sich als die am wenigsten nützliche Sichtweise herausstellte. Es sind jetzt C*-Algebren und Operatorwertverteilungen. Der richtige Pfad führt durch das Pfadintegral, den Wilsonschen Weg, und dies kommt dem ursprünglichen Standpunkt von Feynman und Schwinger näher. Aber eine Schule rigoroser Physiker errichtete in den 1960er Jahren große Barrieren für den Eintritt in die Feldtheoriearbeit, und der Fortschritt in der Feldtheorie wurde ein Jahrzehnt lang gestoppt, bis die Strenge in den 1970er Jahren wieder verworfen wurde. Aber eine richtige rigorose Formulierung von Quantenfeldern fehlt noch.

Darüber hinaus gibt es unzählige No-Go-Theoreme, die die Entdeckung interessanter Dinge verzögert haben:

• Zeit kann kein Operator sein (Pauli): Dies verzögerte die Entstehung der Pfadintegralteilchenformulierung aufgrund von Feynman und Schwinger. Hier wird die Zeitvariable auf dem Teilchenweg wie alles andere wegintegriert.
• Von-Neumanns Beweis für keine versteckten Variablen: Dies hat einen modernen Nachkommen im Kochen-Sprecher-Theorem über verschränkte Mengen von Qubits. Dies verzögerte die Bohm-Theorie, die zunächst auf massiven Widerstand stieß.
• Keine Ladungen, die sich unter der Lorentz-Gruppe (Coleman-Mandula) nicht trivial transformieren: Dieser Satz hatte sowohl positive als auch negative Auswirkungen. Es tötete SU(6)-Theorien (gut), aber es ließ die Leute die Supersymmetrie vermissen (schlecht).
• Quasikristall-Ordnung ist unmöglich: Dieses "no go"-Theorem ist der Standardbeweis dafür, dass die periodische Ordnung (die allgemeine Definition von Kristallen) auf die Standard-Raumgruppen beschränkt ist. Dies machte Quasikristalle unbrauchbar. Die Annahme, die verletzt wird, ist die Annahme strenger Periodizität.
• Keine Supergravitationskompaktifizierungen mit chiralen Fermionen (Witten): Dieser Satz ging von einer mannigfachen Kompaktifizierung und fehlenden Orbifolds von 11d SUGRA aus, die zu den heterotischen Strings führen (auch Witten, mit Horava, also löste Witten das Problem).

4) Was sind Beispiele dafür, dass ein solides mathematisches Verständnis bestimmter Probleme aus der Physik aus der Weiterentwicklung der Physik selbst hervorgegangen ist? (Insbesondere interessiere ich mich für Fälle, in denen ein mathematisch rigoroses Verständnis von Problemen aus der klassischen Mechanik die Quantenmechanik erforderte, und auch für Fälle, in denen Fortschritte in der Physik entscheidend für rigorose mathematische Lösungen von mathematischen Fragen waren, die nicht aus der Physik stammen.)

Hier gibt es mehrere Beispiele:

• Das Verständnis des Adiabatensatzes in der klassischen Mechanik (dass die Aktion eine adiabatische Invariante ist) stammt aus der Quantenmechanik, da klar war, dass die Aktion quantisiert werden musste, und dies keinen Sinn ergeben würde, wenn sie nicht adiabat invariant wäre. Ich bin mir nicht sicher, wer den adiabatischen Satz bewiesen hat, aber genau danach haben Sie gefragt - ein aufschlussreicher klassischer Satz, der aus der Quantenmechanik stammt (obwohl einige Jahrzehnte vor der modernen Quantenmechanik)
• Das Verständnis von Quantenanomalien ergab sich direkt aus einer physikalischen Beobachtung (die hohe Zerfallsrate neutraler Pionen in zwei Photonen). Die Klärung, wie dies durch Feynman-Diagramme geschieht, obwohl ein naives Argument besagt, dass dies verboten ist, führte zu einem vollständigen Verständnis aller anomalen Begriffe in Bezug auf die Topologie. Dies wiederum führte zur Entwicklung der Chern-Simons-Theorie und der Verbindung mit Knotenpolynomen, die von Witten entdeckt wurde und ihm eine Fields-Medaille einbrachte.
• Die Verteilungstheorie entstand in Diracs Arbeit, um zu versuchen, eine gute Grundlage für die Quantenmechanik zu schaffen. Die Verteilungsnatur von Quantenfeldern wurde von Bohr und Rosenfeld in den 1930er Jahren verstanden, und die Mathematiktheorie wurde im Wesentlichen von der Physik in die Mathematik übernommen. Dirac hat bereits Verteilungen mithilfe von Testfunktionen definiert, obwohl ich nicht glaube, dass er pedantisch war, was die Eigenschaften des Testfunktionsraums betrifft.

5) Die Rolle der Strenge wird in populären Büchern und Blogs intensiv diskutiert. Bitte liefern Sie Referenzen (oder besser kommentierte Referenzen) zu akademischen Studien über die Rolle der mathematischen Strenge in der modernen Physik.

Ich kann das nicht, weil ich keine kenne. Aber für das, was es wert ist, halte ich es für eine schlechte Idee, zu versuchen, in der Physik (oder sogar in einigen Teilen der Mathematik) zu streng zu sein. Der Hauptgrund ist, dass strenge Formulierungen vollständig standardisiert werden müssen, damit die Beweise verschiedener Autoren nahtlos zusammenpassen, und dies ist nur sehr lange im Nachhinein möglich, wenn sich die besten Definitionen herauskristallisieren. In der Gegenwart wühlen wir uns immer durch Nebel. Es gibt also immer einen Zeitraum, in dem verschiedene Leute leicht unterschiedliche Definitionen dessen haben, was sie meinen, und die Beweise nicht ganz funktionieren und Fehler passieren können. Das ist nicht so schlimm, solange die Methoden aufschlussreich sind.

Das eigentliche Problem ist die massive Eintrittsbarriere durch strenge Definitionen. Die eigentlichen Argumente sind immer viel weniger entmutigend als der oberflächliche Eindruck, den man beim Lesen des Beweises bekommt, weil der größte Teil des Beweises darin besteht, eine Maschinerie einzurichten, um die Hauptidee durchzusetzen. Die Strenge zu betonen, kann die Maschinerie und nicht die Idee übermäßig betonen.

In der Physik versucht man zu beschreiben, was ein natürliches System tut, und man darf keine Zeit verlieren, um Soziologie zu studieren. Sie können also nicht alle Maschinen lernen, an denen die Mathematiker standardisieren, Sie lernen nur die Ideen. Die Ideen reichen aus, um voranzukommen, aber sie reichen nicht aus, um Mathematiker davon zu überzeugen, dass Sie wissen, wovon Sie sprechen (da es Ihnen schwer fällt, den Konventionen zu folgen). Dies wird durch das Internet verbessert, da die Eintrittsbarrieren dramatisch gesunken sind und es möglicherweise eine Möglichkeit gibt, strenges und nicht strenges Denken heute auf eine Weise zu verschmelzen, die in früheren Zeiten nicht möglich war.

Strenge ist Klarheit der Konzepte und Präzision der Argumente. Deshalb steht am Ende außer Frage, dass wir Strenge wollen.

Um dorthin zu gelangen, brauchen wir zuerst Freiheit für Spekulationen, aber für gute Spekulationen brauchen wir...

...fester Boden, der der einzige Boden ist, der als guter Ausgangspunkt für weitere Spekulationen dient.

in den Worten unserer Rezension , die sich ausschließlich um dieses Thema dreht.

Manchmal verhalten sich Physiker so, wenn es bei der Strenge darum geht, ein offensichtliches, aber unpräzises Argument durch einen langwierigen und langweiligen Beweis zu ersetzen. Aber meistens geht es bei der Strenge darum, die genauen und klaren Definitionen so zu identifizieren, dass das offensichtliche Argument auch zweifellos richtig ist.

Es gibt viele historische Beispiele.

Zum Beispiel die einfache Vorstellung von Differentialformen und äußeren Ableitungen. Es ist am Ende keine große Sache, aber als sie in die Physik eingeführt wurden, lieferten sie nicht nur Strenge für eine Vielzahl vager Argumente über infinitesimale Variation und erweiterte Quantität. Vielleicht noch wichtiger ist, dass sie die Struktur geklärt haben. Maxwell füllte immer noch zwei Seiten mit den Gleichungen des Elektromagnetismus zu einer Zeit, als selbst die Konzepte der linearen Algebra ein arkanes Rätsel waren. Heute sagen wir einfach$d \star d A = j_{el}$und viel weiter sehen, zum Beispiel das Ladungsquantisierungsgesetz mit kindlicher Leichtigkeit rigoros ableiten. Dafür sorgt das klare und präzise Konzept.

Und während wahrscheinlich Ingenieure mit Maxwells ursprünglichen Konzepten arbeiten könnten (und vielleicht tun?), wären die Theoretiker festgefahren. Ohne das rigorose Konzept der de-Rham-Theorie kann man zum Beispiel die Feinheiten der selbst-dualen höheren Spurtheorie nicht erkennen.

Es gibt noch viele weitere Beispiele dieser Art. Hier ist noch eine: rationale CFT wurde lange Zeit auf einer nicht-rigorosen Ebene "vollständig verstanden" und für gelöst erklärt. Als die rigorose FRS-Klassifizierung der vollständigen rationalen CFT eingeführt wurde, stellte sich nicht nur heraus, dass einige der angeblich rationalen CFT-Konstruktionen in der Literatur nicht wirklich existierten, während andere übersehen wurden, wichtiger war: Plötzlich war es sehr klar, warum und welche dieser Beispiele existieren. Basierend auf der soliden Grundlage dieser neuen Strenge ist es jetzt viel einfacher, neue nicht strenge Argumente zu gründen, die viel weiter gehen, als man es vorher tun konnte. Zum Beispiel über das Verhalten rationaler CFT in der Holographie .

Bei der Strenge geht es um Klarheit und Präzision, die nötig sind, um weiter zu sehen. Wie Ellis Cooper gerade an anderer Stelle sagte:

Strenge reinigt das Fenster, durch das die Intuition scheint.

Ich denke immer noch, dass es nicht der richtige Ort für diese Art von Fragen ist. Trotzdem ist das Thema an sich interessant, und ich werde mich auch damit beschäftigen. Da ich weder Wissenschaftsphilosoph noch Historiker bin (und es wahrscheinlich nur sehr wenige solcher Leute auf dieser Seite gibt, einer der Gründe, warum diese Frage möglicherweise nicht geeignet ist), werde ich mich auf mein eigenes eingeschränktes Gebiet konzentrieren, die statistische Physik .

1. Es gibt viele. Zum Beispiel bewies Ende der 1970er Jahre eine zufriedenstellende rigorose Ableitung der Boltzmann-Gleichung, das bis heute beste Ergebnis, das berühmte Theorem von Lanford. In der statistischen Gleichgewichtsmechanik ist eines der wichtigsten offenen Probleme der Beweis, dass die Zweidimensionalität$O(N)$Modelle haben bei allen Temperaturen exponentiell abfallende Korrelationen$N>2$(Es gibt angeblich eine enge Beziehung zwischen solchen Modellen und vierdimensionalen Eichmodellen, und dieses Problem könnte Licht auf die Frage der asymptotischen Freiheit in der QCD werfen, siehe dieses Papier für eine kritische Diskussion dieser Probleme). Natürlich gibt es noch viele andere, wie zum Beispiel der Versuch zu verstehen, warum eine naive Realraum-Renormierung (z. B. Dezimierung) von Gitterspinsystemen einigermaßen genaue Ergebnisse liefert (obwohl bekannt ist, dass solche Transformationen mathematisch im Allgemeinen schlecht definiert sind); aber es scheint mir, dass dies unwahrscheinlich ist, was nicht bedeutet, dass die Philosophie der Renormierungsgruppe keine Verwendung in der mathematischen Physik finden kann (sie hat bereits zu mehreren tiefgreifenden Ergebnissen geführt).

2. Nun, ein wichtiges Beispiel war Onsagers rigorose Berechnung der freien Energie des 2d-Ising-Modells, die zeigte, dass alle damals von Physikern verwendeten Näherungsverfahren völlig falsche Vorhersagen lieferten. Strenge Ergebnisse können auch zu (i) neuen Ansätzen für alte Probleme führen (dies ist kürzlich bei SLE der Fall), (ii) neuen Ergebnissen, die den Physikern nicht bekannt waren (dies ist z. B. der Fall bei den Ergebnissen von Johansson und anderen auf Wachstumsmodellen), (iii) ein viel besseres Verständnis einiger komplizierter Phänomene (z. B. die Gleichgewichtseigenschaften von Ising-Modellen mit fester Magnetisierung), (iv) die Beilegung von Kontroversen in der Physikliteratur (ein berühmtes Beispiel war das Problem der Bestimmung des unteren kritischen Werts). Dimension des Zufallsfeld-Ising-Modells, das in den 1980er Jahren heiß diskutiert und von Bricmont und Kupiainen rigoros geregelt wurde).

3. Keine, die ich kenne. Obwohl man sagen könnte, dass die von Zermelo und Loschmidt gegen Boltzmanns Theorie erhobenen "Paradoxien" beide mathematischer Natur waren (und somit den offensichtlichen Mangel an Strenge von Boltzmanns Ansatz kritisierten) und die Akzeptanz seiner Ideen verzögerten.

4. Ich bin mir in diesem Punkt nicht sicher. Sicherlich liefern die zahlreichen Vermutungen, die aus der Physik stammen, insbesondere bemerkenswerte Vorhersagen, den Mathematikern sowohl Motivation als auch manchmal ein gewisses Maß an Einsicht ... Aber ich bin mir nicht sicher, ob Sie danach fragen.

5. Es gibt viele Artikel, die sich mit solchen Fragen befassen, z.

• „Theoretische Mathematik“: Auf dem Weg zu einer kulturellen Synthese von Mathematik und theoretischer Physik , von Arthur Jaffe und Frank Quinn, Bull.Am.Math.Soc. 29 (1993) 1-13.
• Ist mathematische Strenge in der Physik notwendig? , von Kevin Davey, The British Journal for the Philosophy of Science (2003), Band: 54, Ausgabe: 3, Seiten: 439-463.

und Verweise darin.

Ich kann keineswegs den Anspruch erheben, diese Frage vollständig zu beantworten, aber vielleicht ist eine Teilantwort besser als gar keine Antwort.

In Bezug auf (1) ist das vielleicht berühmteste Beispiel die Navier-Stokes-Gleichung. Wir wissen, dass es extrem gute Ergebnisse für die Modellierung von Flüssigkeitsströmungen liefert, aber wir können nicht einmal zeigen, dass es immer eine Lösung gibt. In der Tat gibt es einen Clay-Preis, der darauf abzielt, die Existenz reibungsloser Lösungen zu beweisen$\mathbb{R}^3$(Problemstellung hier ).

Ein Beispiel für (2) ist, dass das Studium der topologischen Quantenfeldtheorie zumindest teilweise durch Mathematik motiviert wurde.

In Bezug auf (3) glaube ich nicht wirklich, dass dies jemals passiert ist. Damit meine ich jedoch nicht, dass Strenge den Fortschritt der Physik nicht verhindern oder verlangsamen würde, sondern dass es äußerst schwierig erscheint, ein Beispiel für einen Fall zu finden, in dem eine relativ große Gemeinschaft eine solche Forderung nicht einfach ignoriert hat. Sicherlich ist es richtig, dass mathematisch strenge Formulierungen oft weit hinter dem aktuellen Stand der Physik zurückbleiben, aber daran ist nichts Unerwartetes.

Ich habe derzeit keine guten Antworten auf den Rest Ihrer Frage.

Dazu gibt es in Mathematics: Frontiers and Perspectives einen relativ interessanten Aufsatz (C. Vafa - On the future of Mathematics/Physics Interaction) , der auch das TQFT-Beispiel erwähnt.