Die Spur eines Kommutators ist Null - aber was ist mit dem Kommutator von xxx und ppp?

$x$und$p$haben keine endlichdimensionalen Darstellungen. Im Speziellen,$xp$und$px$sind nicht "trace-class". Grob gesagt bedeutet dies, dass die Spuren von$xp$und$px$sind beide unendlich, obwohl es am besten ist, sie beide als undefiniert zu nehmen. Wieder locker, wenn Sie subtrahieren$\infty-\infty$, können Sie sicherlich bekommen$i\hbar$. Aber das solltest du nicht. Alles klappt, wenn man daran denkt$p$als komplexes Vielfaches des Ableitungsoperators, für den$\frac{\partial}{\partial x}$und$x$wirken auf den unendlichen dimensionalen Raum der Polynome ein$x$.

Nachdem ich Peter Morgans Antwort gelesen und etwas mehr darüber nachgedacht habe, denke ich, dass dies tatsächlich einfacher ist, als es zunächst scheint.

Für endlichdimensionale Räume ist die Spur eines Kommutators tatsächlich immer Null. Für unendlichdimensionale Räume ist die Spur nicht immer definiert, da sie die Form einer unendlichen Summe (für zählbare Dimension) oder eines Integrals (für kontinuierliche Dimension) annimmt, die nicht immer konvergieren.
Wenn die Spur definiert ist, gehorcht sie den gleichen Regeln wie in der endlichen Dimension, insbesondere ist die Spur eines Kommutators Null. Für Betreiber wie z$x$,$p$und deren Produkte ist die Spur einfach nicht definiert, es macht also keinen Sinn, danach zu fragen.
Bei der Berechnung thermischer Mittelwerte der Faktor$e^{-\beta H}$sorgt dafür, dass die Spur konvergiert, da die Energie immer von unten gebunden wird (sonst ist das System unphysikalisch).

Ich bin mir sicher, dass die von @Peter Morgan erwähnten Konzepte in diesem Zusammenhang wichtig sind (Begrenztheit, KMS-Bedingung), aber ich weiß nichts darüber, und ich denke, die Antwort, die ich gerade gegeben habe, reicht für praktische Zwecke aus.

Die Antwort von @ Peter Morgan ein wenig konkretisieren, dahingehend$x$und$p$sind keine beschränkten Operatoren, also muss ihr Kommutator nicht beschränkt sein . Notieren Sie sich das zunächst

Nun zur Magie des Paradoxons, das sich selbst auflöst:

In endlichen ( N -dimensionalen) Hilbert-Raum-Darstellungen von$x$und$p$(Weyls QM um einen Kreis), der Kommutator verschwindet zwar, wie er sollte, aber die rechte Seite ist nicht ganz die Identität , sondern eine endliche Matrix mit 0en in der Diagonale, also dann spurlos, in Ordnung. Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Quantenmechanik in endlichen Dimensionen". Grundlagen der Physik 6 (5) p. 583. doi:10.1007/BF00715110.

In diesem bemerkenswert aufschlussreichen Artikel wird gezeigt, dass in der Kontinuumsgrenze N⟶ ∞ genau diese Matrix zum Dirac - δ geht, der hier diskutierten unendlichdimensionalen Identität! Vgl. Q10,11 einer Prüfung , die ich in der Vergangenheit gegeben habe.

2.1c) Angenommen, das$A,B,I$sind$n \times n$Matrizen, wo$n$ist eine endliche positive ganze Zahl. Dann wenn:

Ich denke, dass das Problem von der Aktion des Bedieners herrührt$\hat p$. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich mich irre.
Die Aktion des Bedieners$\hat p$im Quantenraum ist definiert als
$<x|\hat p|a>=-i \hbar \partial_x <x|a>$
wenn der Staat$|a>$hängt nicht von x ab. In der Tat, wenn der Staat$|a>$abhängig$x$, wie zum Beispiel$|a>=f(x)|b>$für jede Skalarfunktion$f(x)$, dann eindeutig die Gleichung
$<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=-i \hbar \partial_x <x|f(x)|b>= -i \hbar \partial_x (f(x) <x|b>)$
wäre schlecht definiert, da es anders ausgewertet werden könnte:$<x|\hat p|a>=<x|\hat p f(x)|b>=f(x) <x|\hat p |b>=f(x)(-i \hbar) \partial_x <x|b>$
Die zweite Bewertung ergibt sich aus der Tatsache, dass in der Standard-Quantenmechanik postuliert wird, dass jeder Operator auf Ket-Vektoren wirkt und nicht auf Skalare (mit Ausnahme des Zeitumkehroperators, der hier nicht von Nutzen ist).

Die Kommutatorbeziehung$\left[\hat x, \hat p\right]=i\hbar$wird durch die Aktion des Operators erhalten$\hat p$wie oben definiert. Somit ist klar, dass eine solche Vertauschungsrelation nicht allgemein in einem Skalarprodukt ($<x|...|ket>$), wenn der Ket-Zustand auf der rechten Seite davon abhängt$x$.

Allerdings, wenn Sie die Spur des Kommutators durchführen$\left[\hat x, \hat p\right]$, du machst
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=\int dx <x|(\hat x\hat p-\hat p\hat x)|x>=\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>$,
wobei ich im letzten Schritt oben gerade die Eigenwerte aus den Eigenzuständen extrahiert habe$|x>$. In der obigen Gleichung haben Sie ein Skalarprodukt, von dem der Ket auf der rechten Seite abhängt$x$. Daher müssen Sie bei der Auswertung vorsichtig sein und können die nicht verwenden$xp$-Vertauschungsbeziehungen sofort. Mit ein wenig Sorgfalt kann jeder anhand der obigen Gleichung erkennen, dass die Spur tatsächlich Null ergibt
$\int dx <x|(x\hat p-\hat p x)|x>=\int dx \,x<x|(\hat p-\hat p )|x>=0$,
wie es soll.
Wenn Sie hingegen die verwendet hätten$xp$-Vertauschungsrelationen von vornherein falsch gefunden hättest
$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar$.

Bearbeitet nach Joes Kommentar
In der letzten Gleichung habe ich die Dimensionalität des Raums vergessen. Es muss wie geändert werden$Tr\Big[\left[\hat x, \hat p\right]\Big]=Tr\Big[i\hbar\Big]=i\hbar\,D$
wo$D$sind die Dimensionen des Quantenraums, in dem Sie die Spur aufnehmen. Danke, Joe.