Differentialgleichung bei ungleichförmiger Kreisbewegung

Ich habe eine Frage, die besagt

Ein Astronaut führt ein Experiment auf einem Raumschiff unter Bedingungen der Schwerelosigkeit durch. Eine Perle wird auf einen kreisförmigen Draht gefädelt und mit Winkelgeschwindigkeit in Bewegung versetzt ω 0 über das Zentrum. Wenn der Reibungskoeffizient zwischen der Perle und dem Draht ist μ , zeigen, dass die Winkelgeschwindigkeit ω zum Zeitpunkt T erfüllt die Differentialgleichung ω ˙ = − μ ω 2 . Lösen Sie diese Gleichung und finden Sie damit einen Ausdruck für θ , der Winkel drehte sich nach der Zeit T . Zeigen Sie, dass die Perle nach diesem Modell niemals vollständig zum Stillstand kommt.

Ich habe gezeigt, dass die Differentialgleichung ω ˙ = − μ ω 2 ist befriedigt. Allerdings habe ich Mühe, die Differentialgleichung zu lösen. Gehe ich richtig in der Annahme, dass es sich um eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt? Wenn ja wie löse ich das. Mein Lehrbuch verlangt nicht, dass Sie wissen, wie man nichtlineare Differentialgleichungen löst, gibt es also einen speziellen Weg, dies zu tun?

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Diese kann direkt integriert werden. Du hast

D ω D T = − μ ω 2 ,
und Sie können die Variablen trennen:
D ω ω 2 = − μ D T .
Letzteres können Sie auf beiden Seiten integrieren und erhalten ω als Funktion von T .

Ich habe die Gleichung gelöst, indem ich sie in zwei Schritten gemacht habe. Erstens, anstatt darüber nachzudenken θ ¨ = − μ θ ˙ 2 , behandeln Sie es als D ω D T = − μ ω 2 , die durch Trennen der Variablen gelöst werden kann:

∫ 1 ω 2   D ω = ∫ − μ   D T − 1 ω = C − μ T
C kann durch Eingabe der Anfangsbedingungen gefunden werden, T = 0 ,   ω = ω 0 , geben C = − 1 ω 0
ω = − ω 0 1 + μ ω 0 T
Davon, θ kann gefunden werden, indem Sie Folgendes tun:
D θ D T = − ω 0 1 + μ ω 0 T θ = ∫ − ω 0 1 + μ ω 0 T   D T θ = 1 μ ln ⁡ | 1 + μ ω 0 T |

Differentialgleichung bei ungleichförmiger Kreisbewegung
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