Differentialgleichungen in einem parallel entladenden RC-Kreis

Question

Differentialgleichungen in einem parallel entladenden RC-Kreis

Physik
Potenzial
Kapazität
Stromkreise
Differentialgleichung

Angelo di Bella

Betrachten Sie bitte folgende RC-Beschaltung als Kontext:

Nehmen Sie an, dass der Stromkreis für eine lange Zeit angeschlossen war. Wenn Schalter S geöffnet wurde bei $t=0,$ die Differentialgleichung, die zum Auflösen der Ladung auf dem Kondensator verwendet wird $Q$ wäre unter Verwendung der Kirchhoffschen Schleifenregel:

\frac{Q}{C} - R \frac{D Q}{D T} = 0, Q (0) = C E

$\frac{Q}{C}-R\frac{dQ}{dt}=0, \quad Q(0)=C\mathcal{E}$

da der Spannungsabfall durch den Kondensator bei Verwerfen des Teils links vom Kondensator dem des Widerstands nach dem Stromfluss im Uhrzeigersinn entgegenwirken würde. Ein Professor sagte mir jedoch, dass die richtige Differentialgleichung in diesem Fall lauten würde:

\frac{Q}{C} + R \frac{D Q}{D T} = 0, Q (0) = C E

$\frac{Q}{C}+R\frac{dQ}{dt}=0, \quad Q(0)=C\mathcal{E}$ Ich verstehe einfach nicht, wie der Spannungsabfall des Kondensators von seiner unteren zur oberen Platte negativ ist. Würde es sich nicht wie eine Batterie verhalten? Würde es nämlich nicht die Spannung zum Stromkreis hinzufügen?

Alfred Centauri

Das Problem dabei ist, dass die Referenzpolaritäten für die Kondensator- und Widerstandsspannungsvariablen nicht auf dem Schaltplan markiert sind. Außerdem der Kondensatorstrom

i_{C} = d Q / d t

$i_C = dQ/dt$ ist der Strom nach unten durch den Kondensator, wenn

Q

$Q$ ist die Ladung auf der obersten Platte des Kondensators. KVL gibt dann die Gleichung an, die Ihr Professor für richtig hielt. Ich habe dies alles in einer Antwort detailliert beschrieben.

Antworten (4)

Differentialgleichungen in einem parallel entladenden RC-Kreis

Das Problem dabei ist, dass die Referenzpolaritäten für die Kondensator- und Widerstandsspannungsvariablen nicht auf dem Schaltplan markiert sind. Außerdem der Kondensatorstrom $i_C = dQ/dt$ ist der Strom nach unten durch den Kondensator, wenn $Q$ ist die Ladung auf der obersten Platte des Kondensators. KVL gibt dann die Gleichung an, die Ihr Professor für richtig hielt. Ich habe dies alles in einer Antwort detailliert beschrieben.

Ein-Auge-Dreieck · Answer 1

Ich glaube, Ihr Professor hat recht. Die Gleichung von bobD ist korrekt, aber was Ihnen fehlt, ist, dass die Ladung des Kondensators zu diesem Zeitpunkt Q ist und daher der durch diesen Moment fließende Strom ist $d(Q(0)-Q)/dt$ und das gibt Ihre richtige Gleichung. Selbst wenn Sie Ihre Gleichung für richtig halten, steigt die Ladung bei der Integration exponentiell an, was nicht möglich ist. HOFFE DAS HILFT

Beachten Sie, dass Antworten bearbeitet werden können, sodass die Aussage "Die Gleichung von bobD ist korrekt" richtig, falsch oder unsinnig sein kann, wenn die Antwort von bobD bearbeitet wird, nachdem Sie das geschrieben haben.
@Alfred Centauri Danke, ich werde mich in den nächsten Fragen darum kümmern

Bob D · Answer 2

Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Spannungspolarität des Kondensators dieselbe wie die der Batterie. Die Batterie entlädt sich also mit Strom, der im Uhrzeigersinn durch den Widerstand fließt. Nach Kirchhoffs Spannungsgesetz $+V_{C}(t)-i(t)R=0$ . Aber $i(t)=dQ/dt$ , Und $dQ/dt$ negativ ist (der Strom nimmt ab), was den zweiten Term in der Differentialgleichung positiv macht. Also hat dein Prof recht.

Hoffe das hilft.

Das hätte ich gedacht, aber das Lösen der von mir aufgestellten Differentialgleichung würde die falsche Entladungsgleichung ergeben, bei der der Exponent positiv statt negativ ist. Wie würden Sie sich den negativen Spannungsabfall am Kondensator vorstellen?
Eigentlich ist meine geschriebene Gleichung korrekt, aber ich habe nicht auf die Differentialgleichung geschaut, die korrekt war. Ich werde aktualisieren.
Sollte der zweite Satz lauten „So entlädt sich der Kondensator …“? Außerdem halte ich die Argumentation in Ihrem vierten Satz nicht für stichhaltig. Wenn $i(t)$ ist der Strom im Uhrzeigersinn, und wenn $Q$ ist dann die Ladung auf der oberen Platte (in Übereinstimmung mit Ihrer KVL-Gleichung). $i(t) = -dQ/dt$

Alfred Centauri · Answer 3

Dem Schaltplan fehlt etwas ganz Wichtiges - die Referenzpolarität für die Spannungen der Schaltungselemente .

Wenn Sie dies tun, wird es keine Frage geben, welche Gleichung richtig ist.

Bezeichnen Sie beispielsweise die Spannung über dem Kondensator als $v_C$ und platzieren Sie ein "+"-Symbol am obersten Anschluss des Kondensators. Das sagt uns, ist das $v_C$ ist positiv , wenn das Potential am obersten Anschluss das positivere ist.

Anders ausgedrückt zeigt das "+"-Symbol an, dass das Voltmeter anzeigt, wenn die "rote" Leitung des Voltmeters dort angeschlossen ist (und die "schwarze" Leitung mit der anderen Klemme verbunden ist). $v_C$ . Beachten Sie, dass das Voltmeter anzeigt, wenn Sie die Verbindung umkehren $-v_C$ .

Bezeichnen Sie in ähnlicher Weise die Spannung über dem Widerstand als $v_R$ und platzieren Sie ein "+"-Symbol am obersten Anschluss des Widerstands.

(Bevor Sie weiterlesen, vergewissern Sie sich, dass Sie Ihren Schaltplan markiert haben, damit Sie beim Lesen des Rests darauf verweisen können.)

Mit diesen Referenzpolaritäten ergibt sich nun KVL gegen den Uhrzeigersinn um die Kondensator-Widerstands-Schleife (oben beginnend).

v_{C} - v_{R} = 0

$v_C - v_R = 0$

Aber

v_{C} = \frac{Q}{C}

$v_C = \frac{Q}{C}$

Wo $Q$ ist die Ladung auf der obersten Platte (dies entspricht dem "+"-Zeichen auf der obersten Klemme) und

v_{R} = {ich}_{R} R

$v_R = i_RR$

Wo $i_R$ ist der Strom in den obersten Anschluss (dies stimmt mit dem „+“-Zeichen am obersten Anschluss gemäß der Konvention für passive Vorzeichen überein ).

Erinnere dich daran

{ich}_{C} = \frac{D Q}{D T}

$i_C = \frac{dQ}{dt}$

und (wichtig!) Dies ist der Strom in den obersten Anschluss des Kondensators (wieder nach der Konvention des passiven Vorzeichens). So, von KCL,

{ich}_{R} = - {ich}_{C} = - \frac{D Q}{D T}

$i_R = - i_C = -\frac{dQ}{dt}$

und daraus folgt, dass die richtige Gleichung ist

\frac{Q}{C} + R \frac{D Q}{D T} = 0

$\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} = 0$

mit Lösung

Q (T) = C E e^{- T / R C}, T \geq 0

$Q(t) = C\mathcal{E}e^{-t/RC},\qquad t\ge 0$

Thomas Fritsch · Answer 4

Ich glaube, Ihr Professor hat recht. Die Lösung seiner Differentialgleichung wäre eine gedämpfte Exponentialfunktion

Q (T) = Q (0) e^{- T / R C}

$Q(t)=Q(0)e^{-t/RC}$ was als Entladekondensator sinnvoll ist.

Aber die Lösung Ihrer Differentialgleichung wäre eine wachsende Exponentialfunktion

Q (T) = Q (0) e^{+ T / R C}

$Q(t)=Q(0)e^{+t/RC}$ was bedeutet, dass die Ladung des Kondensators unendlich wachsen würde. Das kann nicht stimmen.

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