Direkte Messung von S2S2\mathbf S^2

Die Technik zur Messung einer Observable hängt stark von dem jeweiligen System ab. Ich werde eine Möglichkeit zum Messen anbieten$S^2$für ein bestimmtes Beispielsystem – nämlich das Wasserstoffatom.

Betrachten Sie, was wir normalerweise als den Grundzustand des Wasserstoffatoms betrachten:$|n, l, m_l \rangle = |1, 0, 0\rangle$. Natürlich hat auch das Elektron einen Spin:$s_e = 1/2$, und ebenso das einzelne Proton, aus dem der Kern besteht:$s_p = 1/2$. Die Hyperfeinwechselwirkung zwischen den Kernspins$I = s_p = 1/2$und der elektronische Spin$s_e = 1/2$ergibt eine andere Eigenbasis für den gesamten Hamilton-Operator, der sich auf den Gesamtspin bezieht$F = s_e + I = s_e + s_p$(unter Berücksichtigung nur der$l=0$orbital).

Durch Addition von Drehimpulsregeln$F$kann die Werte 0 oder 1 annehmen, und diese beiden Zustände (Singulett bzw. Triplett) werden durch die Hyperfeinaufspaltung (entsprechend 21 cm Strahlung ) energetisch aufgespalten. Also das Problem jetzt des Messens$F^2$wird darauf reduziert, zu identifizieren, in welchem ​​von zwei Energieniveaus sich das Atom befindet. Natürlich, um eine reine projektive Messung davon durchzuführen$F^2$Operator ist nicht trivial.

Hier ist das Problem: die$F=0$Singulett hat nur eine Ebene:$|F = 0, m_F = 0\rangle$. Andererseits ist das bei einer anderen Energie$F=1$Triplett, das drei Zustände hat:$|F=1, m_F=-1\rangle, |F=1, m_F = 0\rangle, |F=1, m_F = 1\rangle$. Das Wasserstoffatom kann sich daher in einer Überlagerung all dieser Zustände befinden:

$$|\psi\rangle = a|0, 0\rangle + b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

Wenn wir messen$F^2$und finde$F = 0$(was mit Wahrscheinlichkeit passiert$|a|^2$), dann projizieren wir den Zustand$|\psi\rangle \to |0, 0\rangle$.

Alternativ, wenn wir messen$F^2$und finde$F=1$(Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, ist$1 - |a|^2$), dann projizieren wir in den Zustand

$$|\psi\rangle \to \frac{1}{|b|^2 + |c|^2 + |d|^2} (b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

Im Zusammenhang mit dem Wasserstoffatom ist hier also eine Möglichkeit, eine solche projektive Messung durchzuführen: Stellen Sie einen Laser auf die Frequenz ein, die der Energiedifferenz zwischen den Atomen entspricht$|0, 0\rangle$Zustand (in$|n, l, m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$) und ein höheres Energieniveau (z. B. ein Niveau mit$n = 2$). Wenden Sie den Laser für kurze Zeit auf das Wasserstoffatom an und prüfen Sie sehr sorgfältig, ob das Wasserstoffatom spontan ein Photon emittiert.

Wenn es ein Photon emittiert, setzen Sie das Atom in den Grundzustand zurück$|n,l,m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$Und$|F, m_F\rangle = |0, 0\rangle$.

Wenn es kein Photon emittiert, dann haben Sie jetzt den Zustand des Atoms in genau den Teil der Zustände mit projiziert$F = 1$.

Durch die Kombination beider möglicher Ergebnisse entspricht das Endergebnis nun einer idealen projektiven Messung von$F^2$auf den Staat$|\psi\rangle$.

Hinweis: Dies ist kein wirklich durchführbares Experiment, da einzelne spontan emittierte Photonen sehr schwer zu detektieren sind - aber es vermittelt eine Vorstellung davon, wie diese Art von Messungen tatsächlich in der Praxis durchgeführt werden können.