Dispersionsrelation für Gitterschwingungen: Warum gibt es zwei und nicht vier Lösungen?

Question

Dispersionsrelation für Gitterschwingungen: Warum gibt es zwei und nicht vier Lösungen?

Physik
Streuung
gekoppelte Oszillatoren
Festkörperphysik

qmd

Eine lineare Kette von zweiatomigen Molekülen kann durch eine Kette von Molekülen mit unterschiedlichen Federkonstanten modelliert werden $C_1$ Und $C_2$ (Siehe Abbildung)

Die entsprechenden Bewegungsgleichungen lauten:

M \ddot{u} = - C_{1} [u_{N} - v_{N}] - C_{2} [u_{N} - v_{N - 1}] M \ddot{v} = - C_{1} [v_{N} - u_{N}] - C_{2} [v_{N} - v_{N + 1}]

$M\ddot{u}=-c_1[u_n-v_n]-c_2[u_n-v_{n-1}] \\ M \ddot{v}=-c_1[v_n-u_n]-c_2[v_n-v_{n+1}]$

Man kann den Ansatz verwenden $u=\epsilon_1 e^{i(kna-\omega t)}; v=\epsilon_2 e^{i(kna-\omega t)}$ und erhalte folgendes Gleichungssystem:

ϵ_{1} (M ω^{2} - C_{1} - C_{2}) + ϵ_{2} (C_{2} e^{- ich k A} + C_{1}) = 0 ϵ_{1} (C_{1} + C_{2} e^{ich k A}) + ϵ_{2} (M ω^{2} - C_{2} - C_{1}) = 0

$\epsilon_1(M\omega^2-c_1-c_2)+\epsilon_2(c_2e^{-ika}+c_1)=0 \\ \epsilon_1(c_1+c_2 e^{ika})+\epsilon_2(M\omega^2-c_2-c_1)=0$

Vorausgesetzt, die Determinante der Koeffizienten von $\epsilon_1, \epsilon_2$ verschwindet, hat das System eine Lösung. Berechnen der Determinante und Auflösen nach $\omega$ Erträge:

ω^{2} = \frac{C_{+} C_{2}}{M} \pm \frac{1}{M} \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} + 2 C_{1} C_{2} \cos k A}

$\omega^2=\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}$

(Die identische Herleitung findet sich in Ashcroft/Mermin, Solid state physics, S.433-435)

In Ashcroft/Mermin wird die Dispersionsrelation wie folgt gezeichnet:

Der obere Zweig ist der optische Zweig und der untere Zweig ist der akustische Zweig.

Meine Frage:

Warum gibt es zwei Zweige und nicht vier? Betrachten wir die Dispersionsrelation $ω^{2} = \frac{C_{+} C_{2}}{M} \pm \frac{1}{M} \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} + 2 C_{1} C_{2} \cos k A}$ $\omega^2=\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}$

dann ist die " $\pm$ " gibt bereits zwei Lösungen. Aber die Autoren zeichnen $\omega$ und nicht $\omega^2$ . Würde das nicht dazu führen
$ω = \pm \sqrt{\frac{C_{+} C_{2}}{M} \pm \frac{1}{M} \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} + 2 C_{1} C_{2} \cos k A}}$ $\omega=\pm \sqrt{\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}}$

das würde vier Lösungen bedeuten?

Han-Kwang Nienhuys

Es sieht so aus, als wären zwei der vier Lösungen imaginär (auf jeden Fall falls

\cos k a < 0

$\cos ka<0$ ).

Jim

ω

$\omega$ ist eine positive Größe

Antworten (1)

Dispersionsrelation für Gitterschwingungen: Warum gibt es zwei und nicht vier Lösungen?

Es sieht so aus, als wären zwei der vier Lösungen imaginär (auf jeden Fall falls $\cos ka<0$ ).

Jim · Answer 1

Das Ergebnis $\omega^2=\frac{c_1+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}$ führt zu zwei reellen Lösungen für $\omega^2$ , seit $-1 \lt \cos ka \lt 1$ und die Quadratwurzel liegt dazwischen $|c_1 - c_2|$ (für $\cos ka = -1$ ) Und $c_1 + c_2$ (für $\cos ka = +1$ ), so dass $\omega^2$ ist immer positiv. Die Frequenz $\omega$ wird als positive Größe genommen, da ein negativer Wert nur als dieselbe Bewegung im entgegengesetzten Sinne angesehen wird (und nichts Neues darstellt).

Vielen Dank für eine Antwort. Meine ursprüngliche Frage wurde beantwortet, aber ich habe eine Folgefrage. Was genau sagt mir diese Grafik "physisch". Mit anderen Worten, was stellen diese Kurven in Bezug auf Gitterschwingungen dar? Könnte man sagen, je größer die Wellenzahl (höhere Energie), desto höher die Frequenz der Gitterschwingungen?
@qmd Ich denke, dass "größer" und "höher" in Ihrer letzten Aussage keinen Sinn ergibt, da sich die optische und die akustische Phononbrache in die entgegengesetzte Richtung entwickeln. Aber du hast recht, man sieht es so wie es ist: Eine Dispersionsrelation für Phononen, also der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenzahl der Gitterschwingungen.
Das sieht man an der oberen Figur $\omega$ wird kleiner als $k$ steigt, während $\omega$ wird größer als $k$ Erhöhungen in der unteren Abbildung.

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qmd

Han-Kwang Nienhuys

Jim

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Jim

qmd

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Jim

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