Warum kann die Dispersionsrelation für eine lineare Kette von Atomen (verbunden durch Federn) geschrieben werden als ω(k)=cs|k|ω(k)=cs|k|\omega(k)=c_s \lvert k\rvert?

Danke. Das würde mir geben: $$a \sqrt{\frac{K}{M}} \lvert k\rvert$$ obwohl. Ich sehe nicht wie $a \sqrt{\frac{K}{M}}$kann angenähert werden als $c_s$. $a$ist der Abstand zwischen zwei Atomen im Gitter, $K$die Feder konstant und $M$die Masse.

$$c_s$$ ist nur die Schallgeschwindigkeit, die (in Ihrem linearen Dispersionsverhältnis) die Frequenz mit dem Impuls verbindet. Per Definition ist dies also nur die Schallgeschwindigkeit.

Um näher darauf einzugehen, was qmd, QuantumMechanics, sagte, ist die Schallgeschwindigkeit entweder die "Phasengeschwindigkeit" $\omega/k$, oder die "Gruppengeschwindigkeit", $d\omega / d k$. Wann auch immer $\omega=Ak$für einige $A$, kann man sehen, dass die Gruppengeschwindigkeit und die Phasengeschwindigkeit zusammenfallen und beide gleich sind $A$.

@LubošMotl Nur zur Verdeutlichung, Dispersion tritt auf, wenn sich die Gruppengeschwindigkeit von der Phasengeschwindigkeit unterscheidet, oder? So, $\omega(k)=ak$gilt nur, wenn die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit ist? In meinem Beispiel $\omega$Und $\frac{d\omega}{d k}$haben die gleiche Geschwindigkeit, soweit ich sehen kann, also gibt es keine Streuung und ich kann schreiben $\omega=c_sk$. Das einzige, was ich nicht verstehe, ist, wie ich es einfach ersetzen kann $a \sqrt{\frac{K}{M}}$mit $c_s$?

Ja, $\omega=Ak$gilt genau dann, wenn die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit ist, und dies ist auch gleichbedeutend damit, keine Dispersion zu haben - dh keine Abhängigkeit von beiden Geschwindigkeiten $k$oder gleichwertig an $\omega$. Sie können ersetzen $a\sqrt{K/M}$von $c_s$zB mehrmals die Löschtaste drücken (am PC) oder mit einem Radiergummi auf einem Bleistift und dann schreiben $c_s$an die Stelle, an der Sie sich entleert haben, oder indem Sie die Gleichung noch einmal mit schreiben $c_s$anstelle der vorherigen Form des Koeffizienten. Der Punkt ist, dass sie nach der Definition von gleich sind $c_s$also darfst du das machen.

Das Problem, mit dem Sie konfrontiert sind, muss etwas ziemlich Grundlegendes sein, also lassen Sie mich vorwegnehmen, dass der Satz „sie sind gleich“ auch mathematisch geschrieben werden kann als $c_s = a\sqrt{K/M}$, und deshalb können Sie das eine durch das andere ersetzen, oder? Diese Identität kann abgeleitet werden $c_s=\omega / k$, die Definition der Phasengeschwindigkeit, wenn Sie ersetzen $\omega = a\sqrt{K/M} k$für $\omega$. Immer noch ein Problem?

@LubošMotl Danke für die humorvolle Erklärung (ich glaube, ich brauchte diesen Schlag ins Gesicht). ;) Es macht jetzt Sinn. Ich habe nur nicht gesehen, wie $a \sqrt{\frac{K}{M}}$könnte eine Geschwindigkeit sein, aber die Einheitenanalyse: $$[m]\sqrt{\frac{[kg]}{[kg][s^2]}}=\frac{[m]}{[s]}$$ Checkt aus. Auch, indem man sich nur die Definition der Dispersionsrelation ansieht $\omega=v_p k$Es macht absolut Sinn, warum $v_p=c_s$per Definition. Ich weiß nicht, warum ich das vorher nicht sehen konnte. Danke Lubos und danke Quantenmechanik!

Tolles Ergebnis. Die Einheiten mussten gleich sein, damit der Koeffizient behauptete, es zu sein $c_s$oder durch ersetzt $c_s$, sonst wäre die ursprüngliche Gleichung dimensionsmäßig falsch gewesen. Die breitere Lektion ist, dass es verschiedene Formeln gibt, um die Geschwindigkeiten zu berechnen . Beispielsweise kann die Lichtgeschwindigkeit aus den elementaren Koeffizienten berechnet werden $\epsilon_0,\mu_0$die in den statischen elektrischen und magnetischen Kraftgesetzen als erscheinen $c=1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$. Es gibt auch viele andere Beispiele, wo die Dinge von Materialkonstanten usw. abhängen.