Drag - Dimensionsanalyse / Buckingham ππ\pi

Ich arbeite an der Dimensionsanalyse und habe Probleme. Hier ist ein Problem aus meinem Buch, an dem ich arbeite. Ich soll eine kleine Kugel betrachten, die aufgrund der Schwerkraft eine Beschleunigung erfährt G . Die Kugel hat einen Radius R und Dichte ρ und umgeben von einer Flüssigkeit der Dichte ρ F und Viskosität η .

Ich soll die Widerstandskraft auf die Kugel durch Dimensionsanalyse bestimmen. Aber ich verstehe es wirklich nicht. Ich würde mich freuen, wenn mich jemand durch diese Sache führt.

Parameter:

  • Ziehen erzwingen (F) - M L / T 2
  • Geschwindigkeit (V) - L / T
  • Radius der Kugel (R) - L
  • Dichte der Kugel ( ρ ) - M / L 3
  • Dichte der Flüssigkeit ( ρ F ) - M / L 3
  • Viskosität ( η ) - M / L T
  • Wirkung der Schwerkraft ( G ) - L / T 2

Erstens, sind das die richtigen Parameter?

Jetzt habe ich 7 − 3 = 4 π Gruppen. Ich kann die Exponenten herausfinden und was nicht - aber ich bin verwirrt, wie ich mit mehreren umgehe π Gruppen, sobald ich die Dimensionsanalyse eingerichtet und die Exponenten erhalten habe. Beachten Sie, dass das Endziel darin besteht, nach einer Endgeschwindigkeit zu lösen, also brauche ich eine Gleichung - das Aufstellen der π Gruppen reicht nicht.

Das Problem legt auch nahe, dass ich mir die Kugel als einen Kern in einer Zelle vorstelle und dann bestimme, auf welcher Längenskala diese thermischen Kräfte nachgeben k T (die Boltzmann-Konstante multipliziert mit der Temperatur) sind vergleichbar mit Schwerkraft und Auftriebskräften. Was ist mit Längenskala gemeint und wie wende ich die Dimensionsanalyse an, um diese Größen zu erhalten?

Vielleicht ist es ein guter Anfang, intuitiv über die Dinge nachzudenken. Machen Sie einige Gedankenexperimente, bei denen Sie nur einen der Parameter variieren: Soll sich die Kraft ändern? Wenn ja, wie dann?
Die beiden Dichten liegen in demselben Parameter vor, da die Analyse nicht zwischen Größen mit identischen Abmessungen unterscheiden kann.

Antworten (3)

Um die konkreten Fragen zu beantworten, die Sie stellen:

  1. Ihr Ziel ist es, die Widerstandskraft auf die Kugel zu bestimmen (durch Dimensionsanalyse). Haben Sie ein Freikörperbild des Problems erstellt? Dies kann Ihnen helfen, darüber nachzudenken, welche Parameter für das Problem tatsächlich wichtig sind. Hinweis: Die Liste der von Ihnen angegebenen Parameter reicht aus, um die Sedimentation eines Partikels unter Schwerkraft vollständig zu beschreiben, reicht jedoch für die Bestimmung nur der Widerstandskraft aus. Sie können zwei dieser Parameter sofort eliminieren, um nur 2 dimensionslose (Pi) Gruppen zu erhalten.

  2. Was ist eine Längenskala ? Kurz gesagt, es ist eine charakteristische Distanz, über die Kräfte wirken, zB ist die Längenskala für viskose Kräfte, die auf eine durch eine Flüssigkeit fallende Kugel wirken, die Größe (Radius oder Durchmesser) der Kugel. Indem wir sagen, dass zwei Kräfte vergleichbar sind, können wir sie (mehr oder weniger) gleichsetzen. In Ihrem Beispiel wird im Wesentlichen gefragt: "Wie klein muss der Kern sein, damit die thermischen Kräfte so groß sind wie die Schwerkraft- / Auftriebskräfte?".

Sie nehmen die dynamische Viskosität als variable Dimension [ M L – 1 T – 1 ]. Sie sollten versuchen, die kinematische Viskosität zu verwenden, die Dimensionen hat, [ L 2 T – 1 ] .

Es sind zwei Dichten vorhanden, eine erscheint in der kinetischen Energie des Körpers, die andere beeinflusst intuitiv, wie sich die Flüssigkeit ihrer Bewegung widersetzt. Also sollten wir erwarten ρ F , η in einer Ecke zu warten, während andere Variablen die Dimensionen der Kraft erhalten.

Seit ρ R 3 hat die Masseneinheiten, ρ R 3 v 2 hat die Einheiten der Energie und ρ R 2 v 2 hat die Einheiten der Kraft.

Die Abhängigkeit von ρ F , η bleibt abzuwarten: Sie gehen in einen dimensionslosen Koeffizienten über, der von der ebenfalls dimensionslosen Reynolds-Zahl abhängt ∝ ρ F R v / η . Natürlich kann dieser Parameter in eine beliebige Funktion verpackt werden, sodass die genaue Form der Widerstandskraft etwas vager ist als bei den meisten lehrbuchmäßigen Dimensionsanalyseproblemen.

Da ist kein G -Abhängigkeit überhaupt. Sollte es auch nicht geben: Wir erwarten eine endliche, aber von Null verschiedene Widerstandskraft in der Schwerelosigkeit.

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