Drehimpulskomponente senkrecht zur Rotationsachse bei Starrkörperrotation

Platzieren Sie ein Koordinatensystem bei O , das so ausgerichtet ist, dass$\boldsymbol{r}_i = (x_i,0,z_i)$. Der Körper dreht sich mit$\boldsymbol{\omega} = (0,0,\Omega)$und beschleunigen mit$\boldsymbol{\alpha} = (0,0,\dot\Omega)$um die z- Achse, und die Masse m _i liegt auf der xz- Ebene.

Dann ist der lineare Impuls von m _i

$$\boldsymbol{p}_i = -m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{\omega} = (0,m_i\, \Omega\, x_i,0)$$

Der Drehimpuls von m _i um den Ursprung O liegt

$${\boldsymbol{L}_i}_O = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{p}_i = (-m_i \Omega x_i z_i,0,m_i \Omega x_i^2)$$

Die Komponente, von der Sie sprechen, befindet sich entlang der y- Achse (senkrecht zur Rotation und r _i ) und ist Null. Aber das bedeutet nicht, dass das Drehmoment um diese Achse Null ist (eigentlich garantiert es, dass es nicht Null ist). Außerdem ist die Komponente in Richtung P$\propto \Omega$und der Rotationsradius$x_i$.

Die auf m _i aufgebrachte Gesamtkraft ergibt sich aus der Ableitung an einem rotierenden Rahmen mit$\Omega$nicht konstant.

$$\boldsymbol{F}_i = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{p}_i = \left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_i}{\partial \Omega}\right) \dot{\Omega} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{p}_i = (-m_i \Omega^2 x_i , m_i \dot{\Omega} x_i ,0)$$

Das Obige ist im Grunde eine Zentrifugalkraft entlang x und eine Tangentialkraft entlang y .

Das Drehmoment um den Ursprung ist ähnlich

$${\boldsymbol{M}_i}_O = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} {\boldsymbol{L}_i}_O = \left(\frac{\partial {\boldsymbol{L}_i}_O}{\partial \Omega}\right) \dot{\Omega} + \boldsymbol{\omega} \times {\boldsymbol{L}_i}_O = ( -m_i \dot{\Omega} x_i z_i, -m_i \Omega^2 x_i z_i, m_i \dot{\Omega} x_i )$$

Wenn der Körper nicht rotatorisch beschleunigt wird, liegt das Drehmoment nur um die y- Achse${\boldsymbol{M}_i}_O = (0,-m_i \Omega^2 x_i z_i,0)$. Hier liegt also eine Situation vor, in der ein Moment senkrecht zur Rotationsachse wirkt und sich die Größe der Rotation nicht ändert.

Ich denke, Sie haben irgendwo einen Rechenfehler, wenn Sie zu einem anderen Schluss kommen. Sie können das Obige überprüfen, indem Sie die 3×3-Trägheitsmatrix um O as herleiten

$${\mathtt{I}_i}_O = m_i \begin{vmatrix} y_i^2+z_i^2 & -x_i y_i & -x_i z_i\\ -x_i y_i & x_i^2+z_i^2 & -y_i z_i \\ -x_i z_i & -y_i z_i & x_i^2+y_i^2 \end{vmatrix}$$

Sie können das überprüfen

$${\boldsymbol{M}_i}_O = {\mathtt{I}_i}_O \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times {\mathtt{I}_i}_O \boldsymbol{\omega}$$

das sind Eulers Gleichungen der Rotationsbewegung.

PS. Der Versuch, 3D-Dynamik Komponente für Komponente durchzuführen, ist mühsam und fehleranfällig.