Dynamik des Trägheitsmoments

Question

Dynamik des Trägheitsmoments

Nur Jeff

Ich möchte in der Lage sein, die Winkelbeschleunigung eines Systems aus zwei rotierenden Massen zu bestimmen, die so verbunden sind, dass sie einen variablen mechanischen Vorteil zwischen den beiden haben. Mein Hintergrund in Mechanik ging bis zu einem Kurs in Statik, daher bin ich mir nicht sicher, wie ich damit weitermachen soll.

Wenn ich eine einzelne Masse irgendeiner Form habe und ein Drehmoment darauf anwende, weiß ich, dass die Winkelbeschleunigung vom Trägheitsmoment dieses Objekts abhängt. Aber angenommen, ich habe ein System aus zwei Objekten, z. B. Zahnräder, und wende ein Drehmoment auf eines von ihnen an und möchte die Winkelbeschleunigung wissen. Ich würde davon ausgehen, dass das effektive Trägheitsmoment an dem Punkt, an dem ich das Drehmoment anwende, das Moment der direkt angetriebenen Masse ist, plus das Moment der sekundären Masse, multipliziert mit dem mechanischen Vorteil zwischen den Zahnrädern, und dass dies unter Verwendung dieser ' effektives Trägheitsmoment 'mit dem Eingangsdrehmoment würde mir sagen, wie schnell die Eingangsmasse beschleunigt. (Die Beschleunigung der 2. Masse ist impliziert, da hier nur 1 dof vorhanden ist.) Ich bin mir nicht sicher, ob dieser allgemeine Ansatz überhaupt richtig ist, und dann gibt es das eigentliche Problem.

Die Einführung des variablen mechanischen Vorteils bereitet mir hier Probleme. Wenn ich den Beitrag zum effektiven Trägheitsmoment von der 2. Masse nur als "intrinsisches" Moment mal den mechanischen Vorteil zu einem bestimmten Zeitpunkt nehme, übersehe ich dann etwas? Kalkül-Instinkte sagen mir, dass es auch einen beitragenden Term aus der Änderungsrate des mechanischen Vorteils geben sollte.

Keenan Pfeffer

Können Sie ein konkretes Beispiel nennen, wie das möglich ist? Vielleicht unrunde Zahnräder?

Keenan Pfeffer

Oh, ich denke, ein stufenloses Getriebe wäre ein perfektes Beispiel, oder?

John Alexiou

Um dies genau zu machen , müssen Sie den Steuermechanismus modellieren, der den mechanischen Vorteil und seine Dynamik verändert.

Antworten (2)

Dynamik des Trägheitsmoments

Können Sie ein konkretes Beispiel nennen, wie das möglich ist? Vielleicht unrunde Zahnräder?
Oh, ich denke, ein stufenloses Getriebe wäre ein perfektes Beispiel, oder?
Um dies genau zu machen , müssen Sie den Steuermechanismus modellieren, der den mechanischen Vorteil und seine Dynamik verändert.

Keenan Pfeffer · Answer 1

Es gibt tatsächlich einen Term, der die zeitliche Ableitung der sich ändernden Kopplung zwischen den Massen beinhaltet.

Lassen Sie uns zunächst die Gleichung für eine einzelne Masse herleiten.

L = \frac{1}{2} ICH {\dot{θ}}^{2} - v (θ)

$L = \frac{1}{2} I\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$

\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = ICH \dot{θ}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\, \dot{\theta}$

\frac{\partial L}{\partial θ} = - \frac{D v}{D θ} = τ

$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$

τ = \frac{D}{D T} (ICH \dot{θ}) = ICH \ddot{θ}

$\tau = \frac{d}{dt} \left( I\, \dot{\theta} \right) = I\, \ddot{\theta}$

Dies zeigt Ihnen, dass die Winkelbeschleunigung proportional zum Drehmoment ist.

Nehmen wir nun an, wir haben zwei Massen. Die angetriebene Masse hat ein Trägheitsmoment $I_1$ und Winkelgeschwindigkeit $\dot{\theta}$ . Die Sekundärmasse hat ein Trägheitsmoment $I_2$ und Winkelgeschwindigkeit $\dot{\theta_2} = a(t)\, \dot{\theta}$ , Wo $a(t)$ ist die sich ändernde Kupplung (z. B. eine sich ändernde Riemenposition in einem stufenlosen Getriebe).

L = \frac{1}{2} {ICH}_{1} {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{2} A (T)^{2} {\dot{θ}}^{2} - v (θ)

$L = \frac{1}{2} I_1\, \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} I_2\, a(t)^2\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$

\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = ({ICH}_{1} + A (T)^{2} {ICH}_{2}) \dot{θ}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta}$

\frac{\partial L}{\partial θ} = - \frac{D v}{D θ} = τ

$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$

τ = \frac{D}{D T} (({ICH}_{1} + A (T)^{2} {ICH}_{2}) \dot{θ})

$\tau = \frac{d}{dt} \left( \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta} \right)$

τ = ({ICH}_{1} + A (T)^{2} {ICH}_{2}) \ddot{θ} + 2 {ICH}_{2} A (T) \frac{D A}{D T} \dot{θ}

$\tau = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \ddot{\theta} + 2 I_2\, a(t) \frac{da}{dt} \dot{\theta}$

Der letzte Begriff, proportional zu $a \dot{a} \dot{\theta}$ , ist der lustige Begriff, den Sie suchen. Es besagt, dass Sie beim Wechseln der Kupplung ein gewisses Drehmoment aufbringen müssen, nur um die Winkelgeschwindigkeit beizubehalten $\dot{\theta}$ Konstante. Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass in Abwesenheit eines externen Drehmoments $\dot{\theta}$ ist nicht mehr konstant (wie für die einzelne Masse), sondern stattdessen $(I_1 + a(t)^2 I_2) \dot{\theta}$ konstant ist, denn das ist der eigentliche Drehimpuls.

Sehr schön! Eine Sache, die das Markup etwas klarer machen könnte, ist die Unterscheidung zwischen partiellen und totalen Ableitungen.
Ich bin mir nicht sicher, worum es bei L und V ging, aber die Bedeutung der letzten beiden Gleichungen ist klar. Danke!
L ist die Lagrange-Funktion, die Grundgröße der Lagrange-Mechanik. Meine Antwort basiert auf den Euler-Lagrange-Gleichungen. V ist das Potential des Drehmoments $\tau$ (im Grunde nur $-\int \tau\, d\theta$ ), die Sie benötigen, um das Drehmoment als potenziellen Energieterm in der Lagrange-Funktion auszudrücken.
Ich habe eine Änderung im mittleren Abschnitt vorgenommen $\theta$ mit $\dot{\theta}$ wo Winkelgeschwindigkeit benötigt wird.

John Alexiou · Answer 2

Betrachten Sie zwei rotierende Massen ( 1) & ( 2) mit einem Drehmoment $\tau$ 1nur auf ( ) angewendet .

Wenn Sie eine Art Kopplung zwischen den beiden definieren, mit resultierenden Winkelgeschwindigkeiten $\omega_2 = \gamma \omega_1$ da die Kraft dann in der Kupplung gespeichert wird, sind die beiden Drehmomente durch $T_2 = \frac{1}{\gamma} T_1$ so dass das Produkt $T_1 \omega_1 = T_2 \omega_2$ ist an beiden Enden gleich.

Die Differenzierung der Winkelgeschwindigkeiten ergibt

a_{2} = γ a_{1} + \dot{γ} ω_{1}

$\alpha_2 = \gamma \alpha_1 + \dot{\gamma} \omega_1$

Die Summe der Drehmomente in Masse ( 1) ist

τ - T_{1} = {ICH}_{1} a_{1}

$\tau - T_1 = I_1 \alpha_1$ , und für Masse ( 2)

T_{2} = {ICH}_{2} a_{2}

$T_2 = I_2 \alpha_2$ . Das Einsetzen des Obigen in die zweite Gleichung ergibt das Reaktionsdrehmoment

T_{1} = γ I_{2} (γ α_{1} + \dot{γ} ω_{1})

$T_1 = \gamma I_2 (\gamma \alpha_1 + \dot{\gamma} \omega_1 )$ und so ist das großartige Ergebnis

a_{1} = \frac{τ - {ICH}_{2} ω_{2} \dot{γ}}{{ICH}_{1} + γ^{2} {ICH}_{2}}

$\alpha_1 = \frac{ \tau - I_2 \omega_2 \dot{\gamma} } {I_1 + \gamma^2 I_2 }$

Der mechanische Vorteil zählt also doppelt (2er-Potenz), einmal aus der Bewegung und einmal aus der Drehmomentverstärkung zum effektiven Massenträgheitsmoment $I_{eff} = I_1 + \gamma^2 I_2$ (ohne Velocity-Effekte).

Dies geht nicht auf die Frage ein, die eindeutig lautete: "Recheninstinkte sagen mir, dass es auch einen beitragenden Term aus der Änderungsrate des mechanischen Vorteils geben sollte."
mein schlechtes - ich werde es leicht beheben. Ausgehend von Winkelgeschwindigkeiten und Beschleunigungen gibt es noch einen weiteren Term.
Das Problem hier ist, was passiert, wenn Gamma eine Funktion der Zeit oder der Winkelposition des Systems ist. Ich glaube jedoch, dass das, was Sie haben, für konstantes Gamma richtig ist, da es genau wie die Mathematik für den Umgang mit transformierten Impedanzen im elektrischen Bereich aussieht.
@JustJeff: Wenn Sie dies aus Sicht der Steuerung betrachten, können Sie dies ausdrücken $\dot{\gamma}$ bezüglich $\dot{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}\omega_{1}}\alpha_{1}$ was, wenn es oben ersetzt wird, das richtige Ergebnis liefern würde.

Dynamik des Trägheitsmoments

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