Fälle, in denen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls in die gleiche Richtung zeigen

Es gibt keine "anderen" Beispiele. Die Bedingung, dass$\vec \omega$Und

$$\vec L = I_{\rm tensor} \cdot \vec \omega$$ zeigen in die gleiche Richtung, dh $$(\vec L=) I_{\rm tensor} \cdot \vec \omega = k \vec \omega$$ Wo $k$ist eine reelle Zahl (und kein Tensor mehr) ist eine Definition eines Eigenvektors von $I_{\rm tensor}$: beide $\vec \omega$Und $\vec L$sind in einem solchen Fall Eigenvektoren des Trägheitsmoments.

Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptachsen . Sie können immer orthogonal zueinander gewählt werden und der Tensor hat die Form

$$I_{\rm tensor} = {\rm diag} (I_1,I_2,I_3)$$ in dem durch diese Hauptachsen gegebenen Koordinatensystem. In einem allgemeinen Fall werden die drei Hauptachsen eindeutig durch den Tensor bestimmt (und die Achsen können als Eigenvektoren eines beliebigen hermiteschen Operators als orthogonal zueinander gezeigt werden).

Die einzige Feinheit erscheint, wenn einige der Einträge$I_1,I_2,I_3$übereinstimmen. Wenn zwei davon gleich sind, ist jede Kombination der beiden Vektoren ein Eigenvektor, und es besteht die Freiheit, diese beiden Hauptachsen zu wählen (die dritte Achse, die einem anderen Eigenwert entspricht, ist immer noch eindeutig).

Wenn$I_1=I_2=I_3$, dann ist der Tensor proportional zur Einheitsmatrix und jeder Vektor ist ein Eigenvektor davon mit demselben Eigenwert$I_1=I_2=I_3$. In diesem Fall ist die Wahl der Hauptachsen völlig willkürlich. Wenn 2 oder 3 Eigenwerte zusammenfallen, ist die Orthogonalität der Basis nicht garantiert, aber wir stellen normalerweise immer noch die zusätzliche Bedingung, dass die "Hauptachsen" orthogonal zueinander sein sollten.

Man könnte verschiedene Beispiele diskutieren – bestimmte Formen mit bestimmten Tensoren des Trägheitsmoments. Wichtig ist hier aber, dass für Spin und Drehimpuls nur der Tensor des Trägheitsmoments zählt. Sie kann aus jeder Materieverteilung berechnet werden, außer aus den Richtungen der drei Achsen und den drei Eigenwerten$I_1,I_2,I_3$ist für Diskussionen über den Drehimpuls irrelevant.